Dorf P 10.3-2: Expresse a tensão
v(t)=5 raiz2 cos (8 t)+2 sen(8 t+45^circ) V
na forma geral
v(t)=A cos (omega t+theta) V
em que A >= 0 e-180^circ <= theta <= 180^circ.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra juntar duas ondas com a mesma frequência

e escrever tudo como
v(t)=5raiz2cos(8t);+;2senl(8t+45^circr)
Matéria envolvida: soma de fasores (ou soma de funções trigonométricas com mesma frequência). Vamos precisar de:
  1. transformar em v(t)=Acos(omega t+theta),, A>=0,,-180^circ<=theta<=180^circ, com deslocamento de fase;
  2. criar fasores (representar cada termo por um vetor no plano complexo);
  3. somar esses vetores e voltar para o domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro converte o seno pra cosseno. Lembra que

Então

Passo 3

Agora cada termo vira um fasor:
  • 5raiz2cos(8t) é fasor de magnitude 5raiz2 e ângulo 0^circ, ou seja 5raiz2ang<=0^circ.
  • 2cos(8t-45^circ) é fasor 2ang<=(-45^circ).
Em coordenadas retangulares (parte real e imaginária):
5raiz2ang<=0^circ;to;5raiz2+ j,0,,
2ang<=(-45^circ);to;2l(cos(-45^circ)+jsin(-45^circ)r) =2l(tfracraiz22 - j,tfracraiz22r) =raiz2 - j,raiz2,

Passo 4

Somamos os dois vetores no plano complexo:
Real: 5raiz2 + raiz2 = 6raiz2,,
Imaginário: 0 + (-raiz2)= -raiz2,.
Ou seja o fasor resultante é
F = 6raiz2 ;-; j,raiz2,

Passo 5

Agora achamos módulo e ângulo de F:
$$A = |F| = \sqrt{(6\sqrt2)2+(-\sqrt2)2}
=\sqrt{72+2}=\sqrt{74}\approx8{,}60,. A = |F| = raiz(6raiz2)^2+(-raiz2)^2 =raiz72+2=raiz74approx8,60, â\theta = \arctan\frac{\Im{F}}{\Re{F}}
=\arctan\frac{-\sqrt2}{6\sqrt2}
=\arctan(-\tfrac1{6})
\approx -9{,}46^\circ,. $$

Resposta

boxedv(t)=8,60;cosl(8t -9,46^circr) V,

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