Dtermine a tranformada inversa de
F(s)=(2 s^3-2 s^2+s) e^-s(s^2-2 s+2)(s^2-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de
F(s)=(2s^3-2s^2+s)e^-s(s^2-2s+2),(s^2-1)
O conteúdo principal envolve transformada de Laplace, decomposição em frações parciais e a propriedade de deslocamento no tempo (retardamento) associada a um fator e^-as.

Passo 2

Primeiro isolamos o fator e^-s e definimos
G(s)=2s^3-2s^2+s(s^2-2s+2)(s^2-1)
Pela propriedade de retardamento, se g(t)=L^-1G(s), então
f(t)=L^-1F(s)=u(t-1),g(t-1),
onde u(t-1) é o degrau unitário deslocado.

Passo 3

Para achar g(t), fazemos a decomposição em frações parciais:
G(s)=As-1+Bs+1+Cs+Ds^2-2s+2

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum e comparando coeficientes de s^3,s^2,s^1,s^0, obtemos o sistema:
A+B+C=2,
-A-3B+D=-2,
4B-C=1,
2A-2B-D=0.
Resolvendo, achamos
A=tfrac12,;B=tfrac12,;C=1,;D=0

Passo 5

Agora invertemos cada termo sabendo que
L^-11/(s-1)=e^t,;L^-11/(s+1)=e^-t,
e que para s^2-2s+2=(s-1)^2+1 vale
L^-1(s-1)/((s-1)^2+1)=e^tcos t,;L^-11/((s-1)^2+1)=e^tsin t
Logo,
g(t)=tfrac12e^t+tfrac12e^-t+e^tcos t+e^tsin t

Passo 6

Por fim aplicamos o retardamento:
f(t)=u(t-1),g(t-1) = u(t-1)l(tfrac12e^t-1+tfrac12e^-(t-1)+e^t-1cos(t-1)+e^t-1sin(t-1)r)

Resposta

f(t)=u(t-1)l(tfrac12e^t-1+tfrac12e^-(t-1)+e^t-1cos(t-1)+e^t-1sin(t-1)r).

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