Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inicial
y^prime prime+4 y^prime+5 y & =sin t upi / 2(t)+cos t y(0) & =0 ; y^prime(0)=1

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
y''+4y'+5y=sin t,upi/2(t)+cos t, y(0)=0, y'(0)=1
Conteúdo: transformada de Laplace e segundo teorema do deslocamento no tempo. Vamos precisar das transformadas de y'',y', de cos t, de sin t,u(t-a) e de técnicas de frações parciais.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Como Y(s)=Ly(t), temos
Ly''=s^2Y-1, Ly'=sY, Lcos t=ss^2+1
Para o escalão, usando o segundo teorema do deslocamento,
[
\mathcal{L}{\sin t,u(t-\tfrac{\pi}{2})}=e^{-\frac{\pi s}{2}}\mathcal{L}{\sin(t+\tfrac{\pi}{2})}
=e^{-\frac{\pi s}{2}}\frac{s}{s^2+1}.

Passo 3

Somando tudo, a EDO transformada é
(s^2+4s+5)Y-1=ss^2+1+e^-pi s2ss^2+1
Portanto
Y(s)=1s^2+4s+5+s(s^2+1)(s^2+4s+5)+e^-pi s2s(s^2+1)(s^2+4s+5)

Passo 4

Fatoramos s^2+4s+5=(s+2)^2+1. Para a fração
s(s^2+1)(s^2+4s+5)
fazemos frações parciais:
s(s^2+1)[(s+2)^2+1] =18s+1s^2+1-18s+5(s+2)^2+1

Passo 5

Agora invertemos cada termo:
  1. 1s^2+4s+5=1(s+2)^2+1mapsto e^-2tsin t
  2. 18s+1s^2+1mapsto18(cos t+sin t)
  3. -18s+5(s+2)^2+1mapsto -18e^-2t(cos t+3sin t)
  4. O termo com e^-pi s2 gera deslocamento: se H(s) inverte para h(t), então
    e^-pi s2H(s)mapsto u(t-tfracpi2),h(t-tfracpi2)

Passo 6

Juntando tudo, escrevemos a solução em forma de função peça:
y(t)= 18(cos t+sin t)+58e^-2tsin t-18e^-2tcos t,&0<= t=tfracpi2

Resposta

y(t)= 18(cos t+sin t)+58e^-2tsin t-18e^-2tcos t,&0<= t=pi2

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