Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inicial
Passo 1
Temos o problema de valor inicial
Conteúdo: transformada de Laplace e segundo teorema do deslocamento no tempo. Vamos precisar das transformadas de
, de
, de
e de técnicas de frações parciais.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Como
, temos
Para o escalão, usando o segundo teorema do deslocamento,
[
\mathcal{L}{\sin t,u(t-\tfrac{\pi}{2})}=e^{-\frac{\pi s}{2}}\mathcal{L}{\sin(t+\tfrac{\pi}{2})}
=e^{-\frac{\pi s}{2}}\frac{s}{s^2+1}.
\mathcal{L}{\sin t,u(t-\tfrac{\pi}{2})}=e^{-\frac{\pi s}{2}}\mathcal{L}{\sin(t+\tfrac{\pi}{2})}
=e^{-\frac{\pi s}{2}}\frac{s}{s^2+1}.
Passo 3
Somando tudo, a EDO transformada é
Portanto
Passo 4
Fatoramos
. Para a fração
fazemos frações parciais:
Passo 5
Agora invertemos cada termo:
-
-
-
- O termo com
gera deslocamento: se inverte para , então
Passo 6
Juntando tudo, escrevemos a solução em forma de função peça:
Resposta
y(t)=