Considere a função
Determine a transformada de Laplace de
.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função em partes, que vale
de 0 até
e zero depois. O conteúdo é a definição de transformada de Laplace e a técnica de integração de
.
Passo 2
Pela definição, a transformada de Laplace de
é
Como
para
, isso vira
Passo 3
Para calcular
, usamos a fórmula geral
Aqui,
e
, então
Passo 4
Agora aplicamos os limites de 0 a
:
Em
o numerador é
, ficando
Em
o numerador é
, dando
Passo 5
Subtraindo o valor em 0 do valor em
temos
[
\mathcal{L}{f}(s)=\frac{s e{-s\pi}}{s2+1}-\Bigl(\frac{-s}{s^2+1}\Bigr)
=\frac{s e{-s\pi}+s}{s2+1}
=\frac{s\bigl(1+e{-s\pi}\bigr)}{s2+1}.
\mathcal{L}{f}(s)=\frac{s e{-s\pi}}{s2+1}-\Bigl(\frac{-s}{s^2+1}\Bigr)
=\frac{s e{-s\pi}+s}{s2+1}
=\frac{s\bigl(1+e{-s\pi}\bigr)}{s2+1}.