Considere a função
f(x)=c cos x, se 0 <= x= pi
Determine a transformada de Laplace de f(x).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função em partes, que vale cos x de 0 até pi e zero depois. O conteúdo é a definição de transformada de Laplace e a técnica de integração de e^axcos(bx).

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace de f(x) é
Lf(s)=integral0^inftye^-sxf(x),dx
Como f(x)=0 para x>=pi, isso vira
Lf(s)=integral0^pie^-sxcos x,dx

Passo 3

Para calcular integral e^-sxcos x,dx, usamos a fórmula geral
integral e^axcos(bx),dx=e^axacos(bx)+bsin(bx)a^2+b^2+C
Aqui, a=-s e b=1, então
integral e^-sxcos x,dx=e^-sx-scos x+sin xs^2+1+C

Passo 4

Agora aplicamos os limites de 0 a pi:
integral0^pie^-sxcos x,dx=[e^-sx-scos x+sin xs^2+1]0^pi
Em x=pi o numerador é -scospi+sinpi)= -s(-1)+0=s, ficando
s e^-spis^2+1
Em x=0 o numerador é -scos0+sin0)=-s+0=-s, dando
-ss^2+1

Passo 5

Subtraindo o valor em 0 do valor em pi temos
[
\mathcal{L}{f}(s)=\frac{s e{-s\pi}}{s2+1}-\Bigl(\frac{-s}{s^2+1}\Bigr)
=\frac{s e{-s\pi}+s}{s2+1}
=\frac{s\bigl(1+e{-s\pi}\bigr)}{s2+1}.

Resposta

Lf(s)=sl(1+e^-spir)s^2+1

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