(DTFT)04 - Considere um sistema causal LTI descrito pela equação à diferença:
y(n+2)+y(n+1)+0,16=x(n+1)+0,32
(a) Determine a resposta em frequência H(e^jw) e em seguida a resposta impulso deste sistema. (1,0 ptos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a resposta em frequência e, depois, a resposta ao impulso desse sistema causal LTI (Linear e Invariante no Tempo). Para isso, vamos precisar entender como passar da equação à diferença para a resposta em frequência usando a Transformada Z, e depois obter a resposta ao impulso a partir dessa resposta em frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação à diferença fornecida para facilitar nosso trabalho:
y(n+2) + y(n+1) + 0,16 = x(n+1) + 0,32
Como estamos lidando com um sistema LTI, podemos aplicar a Transformada Z em ambos os lados da equação para obter a função de transferência . Lembrando que, na Transformada Z, um atraso de amostras corresponde a multiplicar por .

Passo 3

Aplicando a Transformada Z na equação, temos:
Y(z) cdot z^2 + Y(z) cdot z = X(z) cdot z + 0,32 cdot zz-1
Aqui, usamos a propriedade da Transformada Z para constantes, onde a Transformada de uma constante é .

Passo 4

Vamos agora organizar os termos para isolar Y(z) cdot (z^2 + z) = X(z) cdot z + 0,32zz-1 :
Y(z) = zz^2 + z X(z) + 0,32z(z-1)(z^2 + z)
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

A função de transferência H(z) = Y(z)X(z) = zz^2 + z + 0,32z(z-1)(z^2 + z)X(z) é definida como . Então, isolando :
No entanto, como estamos interessados na resposta ao impulso, consideramos (porque a Transformada Z do impulso unitário é 1).

Passo 6

Simplificando a expressão para H(z) = zz^2 + z + 0,32z(z-1)(z^2 + z) :
z^2 + z = z(z + 1)
Podemos fatorar o denominador:
H(z) = zz(z + 1) + 0,32z(z-1)z(z + 1)
Então,
H(z) = 1z + 1 + 0,32(z - 1)(z + 1)
Simplificando:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a Transformada Z inversa para obter H(z) = 1z + 1 + 0,32(z - 1)(z + 1) , a resposta ao impulso. Primeiro, vamos simplificar 0,32(z - 1)(z + 1) = Az - 1 + Bz + 1 :
0,32 = A(z + 1) + B(z - 1)
Podemos decompor a segunda fração em frações parciais:
0,32 = A(1 + 1) + B(1 - 1) Rightarrow 0,32 = 2A Rightarrow A = 0,16
Multiplicando ambos os lados por 0,32 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1) Rightarrow 0,32 = -2B Rightarrow B = -0,16 :
0,32(z - 1)(z + 1) = 0,16z - 1 - 0,16z + 1
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :
Então,

Passo 8

Substituindo de volta em H(z) = 1z + 1 + 0,16z - 1 - 0,16z + 1 = 1 - 0,16z + 1 + 0,16z - 1 = 0,84z + 1 + 0,16z - 1 :

Passo 9

Agora, aplicamos a Transformada Z inversa a cada termo:
  • corresponde a
  • corresponde a
Onde é a função degrau unitário.

Passo 10

Somando as partes, a resposta ao impulso h(n) = 0,84(-1)^nu(n) + 0,16u(n) é:

Resposta

A resposta em frequência do sistema é
H(e^jw) = 0,84e^jomega + 1 + 0,16e^jomega - 1
E a resposta ao impulso do sistema é
h(n) = 0,84(-1)^nu(n) + 0,16u(n)

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