(DTFT)04 - Considere um sistema causal LTI descrito pela equação à diferença:
(a) Determine a resposta em frequência
e em seguida a resposta impulso deste sistema. (1,0 ptos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a resposta em frequência
e, depois, a resposta ao impulso desse sistema causal LTI (Linear e Invariante no Tempo). Para isso, vamos precisar entender como passar da equação à diferença para a resposta em frequência usando a Transformada Z, e depois obter a resposta ao impulso a partir dessa resposta em frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação à diferença fornecida para facilitar nosso trabalho:
Como estamos lidando com um sistema LTI, podemos aplicar a Transformada Z em ambos os lados da equação para obter a função de transferência
. Lembrando que, na Transformada Z, um atraso de
amostras corresponde a multiplicar por
.
Passo 3
Aplicando a Transformada Z na equação, temos:
Aqui, usamos a propriedade da Transformada Z para constantes, onde a Transformada de uma constante
é
.
Passo 4
Vamos agora organizar os termos para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
A função de transferência
é definida como
. Então, isolando
:
No entanto, como estamos interessados na resposta ao impulso, consideramos
(porque a Transformada Z do impulso unitário
é 1).
Passo 6
Simplificando a expressão para
:
Podemos fatorar o denominador:
Então,
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a Transformada Z inversa para obter
, a resposta ao impulso. Primeiro, vamos simplificar
:
Podemos decompor a segunda fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
- Se
:
- Se
:
Então,
Passo 8
Substituindo de volta em
:
Passo 9
Agora, aplicamos a Transformada Z inversa a cada termo:
-
corresponde a -
corresponde a
Onde
é a função degrau unitário.
Passo 10
Somando as partes, a resposta ao impulso
é:
Resposta
A resposta em frequência do sistema é
E a resposta ao impulso do sistema é