Duas ambuläncias, que vamos chamar de A e B, com suas sirenes ligadas emitem um sinal sonoro de 1500 Hz enquanto se deslocam na mesma direçāo, mas com sentidos opostos. Se as ambuläncias tem velocidade v_{A}=54 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e v_{B}=72 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, qual é a frequéncia que uma ambulāncia escuta o sinal da outra quando as ambulàncias estāo se afastando uma da outra. Öbservagäć em cada item você deve calcular duas frequências.
f_{\mathrm{D}}=f_{\mathrm{F}}\left(\frac{v_{\text {som }} \pm v_{\mathrm{D}}}{v_{\text {som }} \pm v_{\mathrm{F}}}\right) \mathrm{D} \equiv detector \mathbf{e F} \equiv fonte v_{\text {som }}=340 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}=3,6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
v_{\mathrm{g}} / \mathrm{s}^{2}, \mathrm{~m}, \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado pede: calcular as duas frequências que cada ambulância escuta do som da outra quando as ambulâncias estão se afastando uma da outra. As informações fornecidas são:
  • Frequência emitida por cada sirene: f_{F}=1500\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade da ambulância A: v_{A}=54\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade da ambulância B: v_{B}=72\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade do som no ar: v_{\text{som}}=340\\ \mathrm{m/s}.
  • Fator de conversão: 1{,}0\\ \mathrm{m/s}=3{,}6\\ \mathrm{km/h}.
As duas frequências a calcular são:
  1. frequência que A (detector) ouve da sirene de B (fonte) quando se afastam;
  2. frequência que B (detector) ouve da sirene de A (fonte) quando se afastam.

Passo 2

Converter as velocidades de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}, porque v_{\text{som}} está em \mathrm{m/s}. A conversão é:
\text{velocidade em m/s} = \frac{\text{velocidade em km/h}}{3{,}6}.
Aplicando:
v_{A}=\frac{54}{3{,}6}=15\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{B}=\frac{72}{3{,}6}=20\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Explicar a fórmula de Doppler (fornecida):
f_{D}=f_{F}\left(\frac{v_{\text{som}}\pm v_{D}}{v_{\text{som}}\pm v_{F}}\right),
onde:
  • f_{D} é a frequência detectada (ouvida) pelo detector;
  • f_{F} é a frequência emitida pela fonte;
  • v_{\text{som}} é a velocidade do som no meio (ar);
  • v_{D} é a velocidade do detector relativa ao meio (positivo quando o detector se move na direção da fonte);
  • v_{F} é a velocidade da fonte relativa ao meio (positivo quando a fonte se move na direção do detector).
Regra de sinais (maneira prática): use o sinal “+” no numerador quando o detector se aproxima da fonte e “−” quando o detector se afasta; use o sinal “−” no denominador quando a fonte se aproxima do detector e “+” quando a fonte se afasta. Assim, se DETECTOR e FONTE se afastam um do outro, deve-se usar (v_{\text{som}}-v_{D}) no numerador e (v_{\text{som}}+v_{F}) no denominador.

Passo 4

Determinar os sinais para o caso pedido (as ambulâncias se afastando):
  • Quando A ouve B: detector D=A está se afastando da fonte F=B. Então usamos (v_{\text{som}}-v_{A}) no numerador e (v_{\text{som}}+v_{B}) no denominador.
  • Quando B ouve A: detector D=B está se afastando da fonte F=A. Então usamos (v_{\text{som}}-v_{B}) no numerador e (v_{\text{som}}+v_{A}) no denominador.

Passo 5

Calcular a frequência que A ouve da sirene de B. Substituindo na fórmula:
f_{D\,(A\leftarrow B)}=f_{F}\left(\frac{v_{\text{som}}-v_{A}}{v_{\text{som}}+v_{B}}\right).
Agora colocar os números:
f_{D\,(A\leftarrow B)}=1500\left(\frac{340-15}{340+20}\right).
Calcular os termos:
340-15=325,\qquad 340+20=360.
Logo
f_{D\,(A\leftarrow B)}=1500\left(\frac{325}{360}\right).
Simplificando a fração por 5:
\frac{325}{360}=\frac{65}{72}\approx0{,}902777\ldots
Multiplicando:
f_{D\,(A\leftarrow B)}=1500\cdot\frac{65}{72}=1500\cdot0{,}902777\ldots \approx 1354{,}17\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Calcular a frequência que B ouve da sirene de A. Substituindo:
f_{D\,(B\leftarrow A)}=1500\left(\frac{340-20}{340+15}\right).
Calcular os termos:
340-20=320,\qquad 340+15=355.
Logo
f_{D\,(B\leftarrow A)}=1500\left(\frac{320}{355}\right).
Aproximando a fração:
\frac{320}{355}\approx0{,}90140845\ldots
Multiplicando:
f_{D\,(B\leftarrow A)}\approx1500\cdot0{,}90140845\ldots \approx 1352{,}11\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica para prova: como ambas as ambulâncias se afastam, a frequência percebida é menor que a emitida ( 1500\\ \mathrm{Hz}). As duas frequências são ligeiramente diferentes porque as velocidades de A e B são diferentes; a ambulância mais rápida como fonte causa uma redução um pouco maior quando ouvida pela outra.

Resposta

1354{,}17\\ \mathrm{Hz}
1352{,}11\\ \mathrm{Hz}

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