Duas ambuläncias, que vamos chamar de A e B, com suas sirenes ligadas emitem um sinal sonoro de 1500 Hz enquanto se deslocam na mesma direçāo, mas com sentidos opostos. Se as ambuläncias tem velocidade v_{A}=54 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e v_{B}=72 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, qual é a frequéncia que uma ambulāncia escuta o sinal da outra quando as ambulāncias estāo se aproximando uma da outra. Öbservagäć em cada item você deve calcular duas frequências.
f_{\mathrm{D}}=f_{\mathrm{F}}\left(\frac{v_{\text {som }} \pm v_{\mathrm{D}}}{v_{\text {som }} \pm v_{\mathrm{F}}}\right) \mathrm{D} \equiv detector \mathbf{e F} \equiv fonte v_{\text {som }}=340 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}=3,6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
v_{\mathrm{g}} / \mathrm{s}^{2}, \mathrm{~m}, \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado pede a frequência que cada ambulância escuta do sinal da outra quando elas estão se aproximando. Informações dadas:
  • Frequência emitida pelas sirenes: \,f_{F}=1500\\ \text{Hz}.
  • Velocidade do som: \,v_{\text{som}}=340\\ \text{m/s}.
  • Velocidades das ambulâncias (fornecidas em \text{km/h}):
    • \,v_{A}=54\\ \text{km/h}.
    • \,v_{B}=72\\ \text{km/h}.
  • Relação de conversão fornecida: \,1{,}0\\ \text{m/s} = 3{,}6\\ \text{km/h}.
O enunciado exige calcular duas frequências: a que A escuta do som emitido por B e a que B escuta do som emitido por A, no momento em que estão se aproximando.

Passo 2

Apresentar a fórmula do efeito Doppler para som (observador e fonte se movendo no ar, velocidades muito menores que c do som):
f_{\mathrm{D}} = f_{\mathrm{F}}\left(\frac{v_{\text{som}} \pm v_{\mathrm{D}}}{v_{\text{som}} \pm v_{\mathrm{F}}}\right).
Explicando cada símbolo:
  • \,f_{\mathrm{D}} é a frequência percebida pelo detector (observador).
  • \,f_{\mathrm{F}} é a frequência emitida pela fonte.
  • \,v_{\text{som}} é a velocidade do som no meio ( 340\\ \text{m/s}).
  • \,v_{\mathrm{D}} é a velocidade do detector em relação ao meio (positiva quando o detector se move em direção à fonte).
  • \,v_{\mathrm{F}} é a velocidade da fonte em relação ao meio (positiva quando a fonte se move em direção ao detector).
Sobre os sinais na fração:
  • Se o detector se move em direção à fonte, usa-se o sinal + no numerador.
  • Se a fonte se move em direção ao detector, usa-se o sinal - no denominador.
    No nosso caso, quando se aproximam, para cada cálculo o detector se move em direção à fonte e a fonte se move em direção ao detector; portanto usamos + no numerador e - no denominador.

Passo 3

Converter as velocidades das ambulâncias para \text{m/s}. Usar \,1\\ \text{m/s}=3{,}6\\ \text{km/h}, logo dividir por 3{,}6:
v_A = \frac{54}{3{,}6}\\ \text{m/s} = 15\\ \text{m/s}.
v_B = \frac{72}{3{,}6}\\ \text{m/s} = 20\\ \text{m/s}.
Confirmando unidades: \,v_A=15\\ \text{m/s}, \,v_B=20\\ \text{m/s}.

Passo 4

Calcular a frequência que A escuta do sinal de B. Aqui o detector é A e a fonte é B. Aplicando a fórmula com + no numerador e - no denominador:
f_{A\leftarrow B} = f_{F}\left(\frac{v_{\text{som}} + v_{A}}{v_{\text{som}} - v_{B}}\right).
Substituindo números:
f_{A\leftarrow B} = 1500\left(\frac{340 + 15}{340 - 20}\right) =1500\left(\frac{355}{320}\right).
Agora calcular a razão \dfrac{355}{320}. Fazer a divisão passo a passo:
\frac{355}{320}=1{,}109375.
Multiplicando:
f_{A\leftarrow B}=1500\times 1{,}109375 = 1664{,}0625\\ \text{Hz}.
Arredondando de forma prática para a prova (duas casas decimais):
f_{A\leftarrow B}\approx 1664{,}06\\ \text{Hz}.

Passo 5

Calcular a frequência que B escuta do sinal de A. Agora o detector é B e a fonte é A. Aplicando a fórmula:
f_{B\leftarrow A} = f_{F}\left(\frac{v_{\text{som}} + v_{B}}{v_{\text{som}} - v_{A}}\right).
Substituindo números:
f_{B\leftarrow A} = 1500\left(\frac{340 + 20}{340 - 15}\right) =1500\left(\frac{360}{325}\right).
Calcular a razão \dfrac{360}{325}:
\frac{360}{325}=1{,}1076923077\ldots
Multiplicando:
f_{B\leftarrow A}=1500\times 1{,}1076923077\ldots = 1661{,}5384615\ldots\\ \text{Hz}.
Arredondando para duas casas decimais:
f_{B\leftarrow A}\approx 1661{,}54\\ \text{Hz}.

Passo 6

Comentário final curto para ficar seguro na prova: ambas as frequências são maiores que 1500\\ \text{Hz} porque, na aproximação mútua, o observador “enxerga” ondas de maior frequência (ondas comprimidas). A diferença entre as duas frequências aparece porque as velocidades das ambulâncias são diferentes.

Resposta

f_{A\leftarrow B}\approx 1664{,}06\\ \text{Hz}
f_{B\leftarrow A}\approx 1661{,}54\\ \text{Hz}

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