Duas barras cilíndricas -
feita de aço
e
feita de alumínio (Ealumínio
) - são unidas em
e contidas por apoios rígidos em
e
. Determine:
a) as reações em
e
;
b) o deslocamento do ponto
.
a) as reações em
b) o deslocamento do ponto
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar as reações nos apoios em
e em . - (b) Determinar o deslocamento do ponto
.
Informações relevantes (peguei da figura):
- Barra
feita de alumínio com módulo de Young . - Barra
feita de aço com módulo de Young . - Diâmetro da barra
: - Diâmetro da barra
: - Distâncias ao longo da barra (conforme a figura):
até = , até = , até = . - Forças internas aplicadas (peguei da figura): uma força de
no trecho esquerdo (seta para a direita) e uma força de no trecho direito (seta para a direita). - Os apoios em
e são rígidos (deslocamento zero nesses pontos).
Passo 2
Vou calcular as áreas das secções transversais (fórmula da área do círculo). Lembrete:
.
Área da barra de alumínio:
Área da barra de aço:
Vou usar as unidades consistentes:
em
(lembre que
):
Passo 3
Equilíbrio global (forças axiais): somando as forças horizontais (sinal positivo para a direita)
Portanto
(Isto significa que as reações totais dos apoios somam uma força de
para a esquerda.)
Passo 4
Agora escrevo as equações de equilíbrio dos trechos que envolvem a força transmitida através da junta [C).
Seja a força axial transmitida através de
, tomada positiva para a direita sobre a barra direita (ou seja, a barra direita sofre
para a direita na face em
).
Seja
Equilíbrio do trecho esquerdo (barra
, somando forças): a força transmitida
para a direita na interface mais a força aplicada interna de
e a reação
devem equilibrar:
Equilíbrio do trecho direito (barra
):
Igualando as duas expressões para
:
Juntando com a equação do passo anterior
, resolvo o sistema linear:
Somando as duas equações:
Substituindo em (R_A + R_D = -144\ \mathrm{kN}]:
Interpretação física (sinal): escolhi positivo para a direita; o resultado negativo significa que as reações atuam para a esquerda. Portanto:
- A reação em
tem magnitude e aponta para a esquerda. - A reação em
tem magnitude e aponta para a esquerda.]
Passo 5
Cálculo do deslocamento do ponto
.
Primeiro obtenho a força transmitida através da junta
(usando
):
Também pela outra expressão
. Logo a força axial transmitida através de
é nula.
Deslocamento axial de
(relativo aos apoios fixos) é proporcional à força interna transmitida por
. Como
, o alongamento/compressão em ambos os lados devido a
é zero. Portanto
Física e intuição curta: cada força aplicada no trecho esquerdo (
) é inteiramente reacionada por
; a do trecho direito (
) é inteiramente reacionada por
. Não há força líquida transmitida entre as barras através de
, por isso
não se desloca.
Resposta
Deslocamento de