Duas barras cilíndricas - C D feita de aço \left(E_{\text {aço }}=200 \mathrm{GPa}\right)ç e A C feita de alumínio (Ealumínio =70 \mathrm{GPa} ) - são unidas em C e contidas por apoios rígidos em A e D. Determine:
a) as reações em A e D;
b) o deslocamento do ponto C.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar as reações nos apoios em A e em D.
  • (b) Determinar o deslocamento do ponto C.
Informações relevantes (peguei da figura):
  • Barra A\!-\!C feita de alumínio com módulo de Young \,E_{\text{Al}}=70\\ \mathrm{GPa}.
  • Barra C\!-\!D feita de aço com módulo de Young \,E_{\text{aço}}=200\\ \mathrm{GPa}ç.
  • Diâmetro da barra A\!-\!C: \,d_{\text{Al}}=28\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro da barra C\!-\!D: \,d_{\text{aço}}=41\\ \mathrm{mm}.ç
  • Distâncias ao longo da barra (conforme a figura): A até B = 200\\ \mathrm{mm}, B até C = 250\\ \mathrm{mm}, C até D = 250\\ \mathrm{mm}.
  • Forças internas aplicadas (peguei da figura): uma força de 81\\ \mathrm{kN} no trecho esquerdo (seta para a direita) e uma força de 63\\ \mathrm{kN} no trecho direito (seta para a direita).
  • Os apoios em A e D são rígidos (deslocamento zero nesses pontos).

Passo 2

Vou calcular as áreas das secções transversais (fórmula da área do círculo). Lembrete: \,A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
Área da barra de alumínio:
A_{\text{Al}}=\dfrac{\pi (28\\ \mathrm{mm})^{2}}{4}=\pi\cdot196\\ \mathrm{mm}^{2}\approx 615{,}75\\ \mathrm{mm}^{2}.
Área da barra de aço:
A_{\text{aço}}=\dfrac{\pi (41\\ \mathrm{mm})^{2}}{4}=\pi\cdot420{,}25\\ \mathrm{mm}^{2}\approx 1\,320{,}26\\ \mathrm{mm}^{2}.ç
Vou usar as unidades consistentes: \,E em \mathrm{N/mm}^2 (lembre que 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{N/mm}^2):
E_{\text{Al}}=70\\ \mathrm{GPa}=70\,000\\ \mathrm{N/mm}^2,\qquad E_{\text{aço}}=200\\ \mathrm{GPa}=200\,000\\ \mathrm{N/mm}^2.ç

Passo 3

Equilíbrio global (forças axiais): somando as forças horizontais (sinal positivo para a direita)
R_A + R_D + 81\\ \mathrm{kN} + 63\\ \mathrm{kN}=0.
Portanto
R_A + R_D = -144\\ \mathrm{kN}.
(Isto significa que as reações totais dos apoios somam uma força de 144\\ \mathrm{kN} para a esquerda.)

Passo 4

Agora escrevo as equações de equilíbrio dos trechos que envolvem a força transmitida através da junta [C).
Seja P a força axial transmitida através de C, tomada positiva para a direita sobre a barra direita (ou seja, a barra direita sofre P para a direita na face em C).
Equilíbrio do trecho esquerdo (barra A\!-\!C, somando forças): a força transmitida P para a direita na interface mais a força aplicada interna de 81\\ \mathrm{kN} e a reação R_A devem equilibrar:
P = R_A + 81\\ \mathrm{kN}.
Equilíbrio do trecho direito (barra C\!-\!D):
P = 63\\ \mathrm{kN} + R_D.
Igualando as duas expressões para P:
R_A + 81 = 63 + R_D \quad\Rightarrow\quad R_A - R_D = -18\\ \mathrm{kN}.
Juntando com a equação do passo anterior R_A + R_D = -144\\ \mathrm{kN}, resolvo o sistema linear:
\begin{cases} R_A + R_D = -144,\\[4pt] R_A - R_D = -18. \end{cases}
Somando as duas equações:
2R_A = -162\\ \mathrm{kN}\quad\Rightarrow\quad R_A = -81\\ \mathrm{kN}.
Substituindo em (R_A + R_D = -144\ \mathrm{kN}]:
R_D = -144 - R_A = -144 - (-81) = -63\\ \mathrm{kN}.
Interpretação física (sinal): escolhi positivo para a direita; o resultado negativo significa que as reações atuam para a esquerda. Portanto:
  • A reação em A tem magnitude 81\\ \mathrm{kN} e aponta para a esquerda.
  • A reação em D tem magnitude 63\\ \mathrm{kN} e aponta para a esquerda.]

Passo 5

Cálculo do deslocamento do ponto C.
Primeiro obtenho a força transmitida através da junta C (usando P=R_A+81):
P = R_A + 81\\ \mathrm{kN} = -81\\ \mathrm{kN} + 81\\ \mathrm{kN} = 0\\ \mathrm{kN}.
Também pela outra expressão P=63+R_D=63+(-63)=0\\ \mathrm{kN}. Logo a força axial transmitida através de C é nula.
Deslocamento axial de C (relativo aos apoios fixos) é proporcional à força interna transmitida por C. Como P=0, o alongamento/compressão em ambos os lados devido a P é zero. Portanto
\text{deslocamento de }C = 0\\ \mathrm{mm}.
Física e intuição curta: cada força aplicada no trecho esquerdo ( 81\\ \mathrm{kN}) é inteiramente reacionada por A; a do trecho direito ( 63\\ \mathrm{kN}) é inteiramente reacionada por D. Não há força líquida transmitida entre as barras através de C, por isso C não se desloca.

Resposta

R_A = 81\\ \mathrm{kN} (para a esquerda)
R_D = 63\\ \mathrm{kN} (para a esquerda)
Deslocamento de C = 0\\ \mathrm{mm}

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