A estrutura suporta a carga distribuída mostrada. Determine o estado de tensão que age no ponto E. Mostre os resultados em um elemento diferencial neste ponto.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o estado de tensão que atua no ponto E e mostrar os resultados em um elemento diferencial nesse ponto.
Informações fornecidas pelo enunciado enviado por você:
  • Apenas a frase dizendo que “a estrutura suporta a carga distribuída mostrada” e que é para determinar o estado de tensão no ponto E.
Informações importantes que faltam (estes dados provavelmente estavam na figura que não foi enviada):
  • a geometria da peça (seção transversal no ponto E: forma, largura, espessura, altura etc.);
  • as dimensões e posições relativas (distâncias desde apoios até E);
  • a intensidade e a lei da carga distribuída w(x) (valores numéricos e se varia com x);
  • condições de contorno e reações (apoios, vínculos) ou se há forças concentradas além da carga distribuída;
  • local exato da seção prescrita (a coordenada de E na barra/treliça/placa).
Como a figura/dados essenciais não foram fornecidos, não é possível calcular valores numéricos do estado de tensão em E. Nos passos seguintes vou explicar, de forma detalhada e didática, todo o procedimento que você deve aplicar (passo a passo) quando tiver a figura e os dados — assim você consegue reproduzir na prova e aplicar direto ao seu caso.

Passo 2

Plano geral de resolução (o que se faz numa questão típica dessas)
  1. Fazer um corte (secção) passando por E e isolar uma das partes da estrutura (diagrama de corpo livre).
  2. Determinar as forças internas na seção em E: força normal N (axial), força cortante V (transversal) e momento fletor M (e, se houver, torque T). Para isso usa-se equilíbrio estático (somatórios de forças e momentos).
  3. Converter essas ações internas em tensões no ponto E: tensões normais (por tração/compressão e por flexão) e tensões de cisalhamento (por força cortante e, se houver, por torção).
  4. Montar o elemento diferencial (pequeno quadrado/retângulo) no ponto E com as componentes \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}.
  5. Se necessário, transformar essas tensões para obter tensões principais e máximas de cisalhamento (círculo de Mohr ou fórmulas fechadas).
Nos próximos passos eu ensino cada item acima com fórmulas, significado das variáveis e exemplos simples.

Passo 3

Como obter as forças internas V e M em E a partir de uma carga distribuída w(x)
  • Suponha que a linha da peça tem coordenada x e que existe uma carga distribuída por unidade de comprimento \,w(x)\, (unidade: por exemplo \mathrm{N/m}).
  • Se fizer um corte perpendicular ao eixo longitudinal na posição x_E (local do ponto E), a força cortante V(x_E) e o momento fletor M(x_E) na seção são obtidos pelo equilíbrio da parte cortada. Em termos integrais gerais:
V(x)=V(x_0)-\int_{x_0}^{x} w(s)\,ds
M(x)=M(x_0)+\int_{x_0}^{x} V(s)\,ds
onde x_0 é uma posição conhecida (por exemplo, um apoio) com valores de V(x_0) e M(x_0) conhecidos (ou nulos).
  • Em palavras: integrar a carga para obter variação da força cortante; integrar V para obter o momento. Em provas muitas vezes usa-se tabelas simples: para w= constante sobre um trecho, V varia linearmente e M varia quadraticamente.
Exemplo de aplicação rápida (didático):
  • Se numa viga simplesmente apoiada com um trecho central carregado por w= constante sobre uma parte, para obter V e M basta somar reações e aplicar equilíbrio até a seção em E. A técnica é sempre a mesma: desenho do corte e somatório de forças e momentos.

Passo 4

Tensão normal (devida a força normal axial e a flexão)
  • A tensão normal total na fibra localizada a uma distância y do eixo neutro é, em geral, a soma da contribuição axial e da contribuição por flexão:
\sigma_x = \frac{N}{A} + \frac{M}{I}\,y.
Explicando cada símbolo:
  • N: força normal axial (positiva em tração) resultante na seção (unidade: N).
  • A: área da seção transversal (unidade: m^2).
  • M: momento fletor na seção (unidade: N·m).
  • I: momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (unidade: m^4).
  • y: coordenada da fibra medida a partir do eixo neutro (unidade: m). Convenção comum: y>0 para cima; se M produz compressão na fibra superior, então \frac{M}{I}y será negativo na fibra superior — mantenha coerência de sinais.
Observações práticas:
  • Se não houver força axial N, o primeiro termo some e resta só a flexão.
  • Calcule o eixo neutro e I da seção — para seções compostas use teorema das áreas equivalentes (eixos paralelos).
  • Para seções simples, I tem fórmulas prontas (ex.: retângulo I=\dfrac{b h^3}{12}, círculo I=\dfrac{\pi d^4}{64}, etc.).

Passo 5

Tensão de cisalhamento na seção (devida à força cortante V)
  • Para um ponto interno da seção, a tensão de cisalhamento transversal (o cisalhamento tangencial em eixos x,y) pode ser aproximada pela fórmula clássica da resistência dos materiais:
\tau_{xy}=\frac{V\,Q}{I\,t},
onde:
  • V: força cortante na seção (unidade: N).
  • Q: primeiro momento da área da porção da seção situada entre a fibra onde se quer \tau e a borda oposta, em relação ao eixo neutro (unidade: m^3). Formalmente Q=\int_A y'\,dA, medido a partir do eixo neutro.
  • I: momento de inércia da seção (m^4).
  • t: largura efetiva (espessura) da seção na linha onde se mede \tau (m). Para uma barra retangular com espessura constante b, usa-se t=b.
Como calcular Q em um retângulo de largura b e altura h (exemplo):
  • Coloque origem no centro (eixo neutro). Para uma fibra a uma distância y do centro (com 0\le y\le h/2), a área acima da fibra é A' = b\left(\tfrac{h}{2}-y\right). O primeiro momento é
Q(y)=b\int_{y}^{h/2} y'\,dy' = b\cdot\frac{(h/2-y)^2}{2}.
Substitua em \tau_{xy}=\dfrac{VQ}{I b}.
  • Para a seção retangular, o máximo de \tau ocorre no eixo neutro e vale
\tau_{\max}=\frac{3V}{2A},
onde A=b h. Esse resultado é útil para estimativas rápidas em prova.

Passo 6

Se houver torque (torção) ou tensões adicionais
  • Se a estrutura também estiver sujeita a um torque T (por exemplo, eixo circular), a tensão de cisalhamento por torção em uma fibra a raio \rho é:
\tau_{t}=\frac{T\,\rho}{J}
onde J é o momento de inércia polar da seção (para circular sólida J=\dfrac{\pi d^4}{32}).
  • Em peças planas não circulares ou em placas a distribuição é mais complexa (funções de warping); na maioria das provas básicas só aparece para eixos circulares.

Passo 7

Montagem do estado de tensão em um elemento diferencial no ponto E
  • Depois de calcular:
    • \sigma_x (tensão normal longitudinal, do Passo 4),
    • \sigma_y (tensão normal transversal; em vigas finas normalmente \sigma_y\approx 0),
    • \tau_{xy} (cisalhamento plano do Passo 5; e \tau_{yx}=\tau_{xy} por equilíbrio),
      constrói-se o elemento diferencial com as componentes:
\text{Elemento em }E:\qquad \sigma_x,\quad \sigma_y,\quad \tau_{xy}.
  • Convenções de sinais: mantenha consistência — por exemplo, tensões positivas de tração, cisalhamento positivo no sentido antihorário em faces positivas. Em provas, geralmente basta indicar os valores com indicação de signo.

Passo 8

Cálculo das tensões principais e do ângulo das direções principais (se solicitado)
  • Para um estado de tensão plano com \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}, as tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} são:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
  • O ângulo \theta_p (medido a partir do eixo x) que dá a direção das tensões principais satisfaz:
\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
  • A máxima tensão de cisalhamento em plano vale:
\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
Exemplo numérico didático (APENAS para ilustrar como aplicar as fórmulas): se \sigma_x=50\\ \text{MPa}, \sigma_y=0, \tau_{xy}=10\\ \text{MPa} então
\sigma_{1,2}=\frac{50}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{50}{2}\right)^2+10^2} =25\pm\sqrt{625+100}=25\pm\sqrt{725}
ou seja \sigma_1\approx25+26,93=51,93\\ \text{MPa}, \sigma_2\approx25-26,93=-1,93\\ \text{MPa}.
Isto é só um exemplo de aplicação das fórmulas — NÃO é o resultado para o seu ponto E, porque faltam dados.

Passo 9

Como apresentar o resultado na prova (passo-a-passo objetivo para escrever)
  1. Desenhe a viga/estrutura completa e marque o ponto E.
  2. Faça o diagrama de corpo livre e calcule reações de apoio (se necessário). Escreva as equações de equilíbrio.
  3. Faça um corte na seção que passa por E e escreva somatórios de forças na vertical e momentos para obter V_E e M_E (e N_E, T_E se houver). Mostre os cálculos algébricos.
  4. Calcule I e o eixo neutro da seção em E (mostrar cálculo do momento de inércia).
  5. Calcule \sigma_x=\dfrac{N}{A}+\dfrac{M}{I}y na posição escolhida (por exemplo na fibra superior, inferior e na própria E se E fica na superfície ou em ponto interno).
  6. Calcule \tau_{xy}=\dfrac{VQ}{It} indicando claramente como foi obtido Q e t.
  7. Monte o elemento diferencial com os sinais e valores obtidos.
  8. (Se pedido) Calcule tensões principais e ângulo com as fórmulas do Passo 8 e desenhe o elemento principal.
  9. Escreva a resposta final com unidades e com indicação de se é tração/compressão/cisalhamento e onde o máximo ocorre.

Passo 10

Dicas rápidas de prova (erros comuns e como evitá-los)
  • Atenção ao sinal de M: um mesmo valor numérico de M pode produzir compressão na fibra superior ou inferior — cheque a convenção.
  • Calcule corretamente Q: é o primeiro momento da área “acima” (ou “abaixo”) da fibra e é frequentemente a parte que gera erro de sinais e limites de integração.
  • Em seções compostas, use o teorema das áreas (transformação para uma área equivalente) para obter I e Q.
  • Verifique unidades (N, mm, m); em provas, muitas contas podem ser feitas em mm mas o estudante precisa ser consistente.
  • Se a peça é delgada em uma direção (placa), cuidado: a fórmula \tau=VQ/(It) assume comportamento plano e que t é a espessura local.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o estado de tensão no ponto E porque a figura com a carga distribuída e as dimensões/posições necessárias não foi fornecida.

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