A estrutura suporta a carga distribuída mostrada. Determine o estado de tensão que age no ponto
. Mostre os resultados em um elemento diferencial neste ponto.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o estado de tensão que atua no ponto
e mostrar os resultados em um elemento diferencial nesse ponto.
Informações fornecidas pelo enunciado enviado por você:
- Apenas a frase dizendo que “a estrutura suporta a carga distribuída mostrada” e que é para determinar o estado de tensão no ponto
.
Informações importantes que faltam (estes dados provavelmente estavam na figura que não foi enviada):
- a geometria da peça (seção transversal no ponto
: forma, largura, espessura, altura etc.); - as dimensões e posições relativas (distâncias desde apoios até
); - a intensidade e a lei da carga distribuída
(valores numéricos e se varia com ); - condições de contorno e reações (apoios, vínculos) ou se há forças concentradas além da carga distribuída;
- local exato da seção prescrita (a coordenada de
na barra/treliça/placa).
Como a figura/dados essenciais não foram fornecidos, não é possível calcular valores numéricos do estado de tensão em
. Nos passos seguintes vou explicar, de forma detalhada e didática, todo o procedimento que você deve aplicar (passo a passo) quando tiver a figura e os dados — assim você consegue reproduzir na prova e aplicar direto ao seu caso.
Passo 2
Plano geral de resolução (o que se faz numa questão típica dessas)
- Fazer um corte (secção) passando por
e isolar uma das partes da estrutura (diagrama de corpo livre). - Determinar as forças internas na seção em
: força normal (axial), força cortante (transversal) e momento fletor (e, se houver, torque ). Para isso usa-se equilíbrio estático (somatórios de forças e momentos). - Converter essas ações internas em tensões no ponto
: tensões normais (por tração/compressão e por flexão) e tensões de cisalhamento (por força cortante e, se houver, por torção). - Montar o elemento diferencial (pequeno quadrado/retângulo) no ponto
com as componentes . - Se necessário, transformar essas tensões para obter tensões principais e máximas de cisalhamento (círculo de Mohr ou fórmulas fechadas).
Nos próximos passos eu ensino cada item acima com fórmulas, significado das variáveis e exemplos simples.
Passo 3
Como obter as forças internas
e
em
a partir de uma carga distribuída
- Suponha que a linha da peça tem coordenada
e que existe uma carga distribuída por unidade de comprimento (unidade: por exemplo ). - Se fizer um corte perpendicular ao eixo longitudinal na posição
(local do ponto ), a força cortante e o momento fletor na seção são obtidos pelo equilíbrio da parte cortada. Em termos integrais gerais:
onde
é uma posição conhecida (por exemplo, um apoio) com valores de
e
conhecidos (ou nulos).
- Em palavras: integrar a carga para obter variação da força cortante; integrar
para obter o momento. Em provas muitas vezes usa-se tabelas simples: para constante sobre um trecho, varia linearmente e varia quadraticamente.
Exemplo de aplicação rápida (didático):
- Se numa viga simplesmente apoiada com um trecho central carregado por
constante sobre uma parte, para obter e basta somar reações e aplicar equilíbrio até a seção em . A técnica é sempre a mesma: desenho do corte e somatório de forças e momentos.
Passo 4
Tensão normal (devida a força normal axial e a flexão)
- A tensão normal total na fibra localizada a uma distância
do eixo neutro é, em geral, a soma da contribuição axial e da contribuição por flexão:
Explicando cada símbolo:
-
: força normal axial (positiva em tração) resultante na seção (unidade: N). -
: área da seção transversal (unidade: m^2). -
: momento fletor na seção (unidade: N·m). -
: momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (unidade: m^4). -
: coordenada da fibra medida a partir do eixo neutro (unidade: m). Convenção comum: para cima; se produz compressão na fibra superior, então será negativo na fibra superior — mantenha coerência de sinais.
Observações práticas:
- Se não houver força axial
, o primeiro termo some e resta só a flexão. - Calcule o eixo neutro e
da seção — para seções compostas use teorema das áreas equivalentes (eixos paralelos). - Para seções simples,
tem fórmulas prontas (ex.: retângulo , círculo , etc.).
Passo 5
Tensão de cisalhamento na seção (devida à força cortante
)
- Para um ponto interno da seção, a tensão de cisalhamento transversal (o cisalhamento tangencial em eixos
) pode ser aproximada pela fórmula clássica da resistência dos materiais:
onde:
-
: força cortante na seção (unidade: N). -
: primeiro momento da área da porção da seção situada entre a fibra onde se quer e a borda oposta, em relação ao eixo neutro (unidade: m^3). Formalmente , medido a partir do eixo neutro. -
: momento de inércia da seção (m^4). -
: largura efetiva (espessura) da seção na linha onde se mede (m). Para uma barra retangular com espessura constante , usa-se .
Como calcular
em um retângulo de largura
e altura
(exemplo):
- Coloque origem no centro (eixo neutro). Para uma fibra a uma distância
do centro (com ), a área acima da fibra é . O primeiro momento é
Substitua em
.
- Para a seção retangular, o máximo de
ocorre no eixo neutro e vale
onde
. Esse resultado é útil para estimativas rápidas em prova.
Passo 6
Se houver torque (torção) ou tensões adicionais
- Se a estrutura também estiver sujeita a um torque
(por exemplo, eixo circular), a tensão de cisalhamento por torção em uma fibra a raio é:
onde
é o momento de inércia polar da seção (para circular sólida
).
- Em peças planas não circulares ou em placas a distribuição é mais complexa (funções de warping); na maioria das provas básicas só aparece para eixos circulares.
Passo 7
Montagem do estado de tensão em um elemento diferencial no ponto
- Depois de calcular:
-
(tensão normal longitudinal, do Passo 4), -
(tensão normal transversal; em vigas finas normalmente ), -
(cisalhamento plano do Passo 5; e por equilíbrio),
constrói-se o elemento diferencial com as componentes:
-
- Convenções de sinais: mantenha consistência — por exemplo, tensões positivas de tração, cisalhamento positivo no sentido antihorário em faces positivas. Em provas, geralmente basta indicar os valores com indicação de signo.
Passo 8
Cálculo das tensões principais e do ângulo das direções principais (se solicitado)
- Para um estado de tensão plano com
, as tensões principais e são:
- O ângulo
(medido a partir do eixo ) que dá a direção das tensões principais satisfaz:
- A máxima tensão de cisalhamento em plano vale:
Exemplo numérico didático (APENAS para ilustrar como aplicar as fórmulas): se
,
,
então
ou seja
,
.
Isto é só um exemplo de aplicação das fórmulas — NÃO é o resultado para o seu ponto , porque faltam dados.
Isto é só um exemplo de aplicação das fórmulas — NÃO é o resultado para o seu ponto
Passo 9
Como apresentar o resultado na prova (passo-a-passo objetivo para escrever)
- Desenhe a viga/estrutura completa e marque o ponto
. - Faça o diagrama de corpo livre e calcule reações de apoio (se necessário). Escreva as equações de equilíbrio.
- Faça um corte na seção que passa por
e escreva somatórios de forças na vertical e momentos para obter e (e , se houver). Mostre os cálculos algébricos. - Calcule
e o eixo neutro da seção em (mostrar cálculo do momento de inércia). - Calcule
na posição escolhida (por exemplo na fibra superior, inferior e na própria se fica na superfície ou em ponto interno). - Calcule
indicando claramente como foi obtido e . - Monte o elemento diferencial com os sinais e valores obtidos.
- (Se pedido) Calcule tensões principais e ângulo com as fórmulas do Passo 8 e desenhe o elemento principal.
- Escreva a resposta final com unidades e com indicação de se é tração/compressão/cisalhamento e onde o máximo ocorre.
Passo 10
Dicas rápidas de prova (erros comuns e como evitá-los)
- Atenção ao sinal de
: um mesmo valor numérico de pode produzir compressão na fibra superior ou inferior — cheque a convenção. - Calcule corretamente
: é o primeiro momento da área “acima” (ou “abaixo”) da fibra e é frequentemente a parte que gera erro de sinais e limites de integração. - Em seções compostas, use o teorema das áreas (transformação para uma área equivalente) para obter
e . - Verifique unidades (N, mm, m); em provas, muitas contas podem ser feitas em mm mas o estudante precisa ser consistente.
- Se a peça é delgada em uma direção (placa), cuidado: a fórmula
assume comportamento plano e que é a espessura local.
Resposta
Não é possível determinar numericamente o estado de tensão no ponto
porque a figura com a carga distribuída e as dimensões/posições necessárias não foi fornecida.