( 1.5 ptos) Em um ensaio de traçảo, o corpo de prova utilizado possui um diámetro de 12 mm e comprimento útil de 50 mm . O alongamento sofrido pelo comprimento útil durante um dado instante da fase elástica foi de 13 mm , correspondendo a uma carga de 60000 N . O decréscimo medido no diâmetro do corpo de prova foi de
. Calcule:
a) a tensĩo real.
b) a tensia de engenharia.
c) o módulo de elasticidade.
d) o coeficiente de Poisson.
a) a tensĩo real.
b) a tensia de engenharia.
c) o módulo de elasticidade.
d) o coeficiente de Poisson.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados (pegos do enunciado):
- diâmetro inicial do corpo de prova:
. - comprimento útil inicial:
. - alongamento axial medido:
. - carga aplicada:
. - decréscimo no diâmetro (redução):
. (isto é, o diâmetro final é .)
O enunciado pede:
a) a tensão real (tensão verdadeira) no instante considerado;
b) a tensão de engenharia (tensão nominal) nesse instante;
c) o módulo de elasticidade (módulo de Young) usando os dados elásticos;
d) o coeficiente de Poisson.
a) a tensão real (tensão verdadeira) no instante considerado;
b) a tensão de engenharia (tensão nominal) nesse instante;
c) o módulo de elasticidade (módulo de Young) usando os dados elásticos;
d) o coeficiente de Poisson.
Passo 2
Área inicial da seção transversal (usamos seção circular). Explico a fórmula: a área de um círculo de diâmetro
é
onde
é a área em
e
é o diâmetro em
.
Aplicando para
:
Se for útil em número aproximado,
Passo 3
Tensão de engenharia (tensão nominal). Definição e fórmula: a tensão de engenharia é a força dividida pela área original,
onde
é a força em
e
a área inicial em
. A unidade resultante é
que é igual a
.
Substituindo os valores:
Agora calculo numericamente:
(Arredondarei depois; por enquanto guardo este valor.)
Passo 4
Área instantânea (usada para a tensão real). O diâmetro final é
A área instantânea é
Uma forma prática de relacionar
com
é usar a razão dos diâmetros:
Como
, então
Portanto
Passo 5
Tensão real (verdadeira). Definição: tensão real é a força dividida pela área instantânea:
Usando a relação com
:
Como
, obtemos numericamente
(ou calculando diretamente
chega-se ao mesmo valor aproximado.)
Passo 6
Deformação axial (engenharia) e módulo de elasticidade. Definição de deformação de engenharia axial (extensão relativa):
onde
é o alongamento e
o comprimento inicial.
Substituindo:
Para a fase elástica, o módulo de Young
é dado por
ou seja, razão entre tensão de engenharia e deformação de engenharia (no regime elástico linear).
Substituindo os valores:
(Em unidades mais usuais,
.)
Observação didática rápida: normalmente para metais
é da ordem de
; aqui obtivemos um valor muito menor porque o alongamento dado (
em
) é enorme para um regime puramente elástico — isso indica que os números do enunciado são incomuns, mas os cálculos acima seguem as fórmulas pedidas.
Passo 7
Coeficiente de Poisson. Definição: coeficiente de Poisson
relaciona a deformação transversal com a deformação axial por
A deformação transversal (decréscimo relativo do diâmetro) pode ser aproximada por
Aqui
é negativo quando o diâmetro diminui; o enunciado informou a magnitude da queda
, portanto
. Assim
Com
, temos
Portanto
Passo 8
Resumo numérico final (valores arredondados com razoável número de dígitos significativos):
-
. -
. -
(ou ). -
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)