( 1.5 ptos) Em um ensaio de traçảo, o corpo de prova utilizado possui um diámetro de 12 mm e comprimento útil de 50 mm . O alongamento sofrido pelo comprimento útil durante um dado instante da fase elástica foi de 13 mm , correspondendo a uma carga de 60000 N . O decréscimo medido no diâmetro do corpo de prova foi de 0,006 \mathrm{~mm}. Calcule:
a) a tensĩo real.
b) a tensia de engenharia.
c) o módulo de elasticidade.
d) o coeficiente de Poisson.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados (pegos do enunciado):
  • diâmetro inicial do corpo de prova: d_0=12\\ \mathrm{mm}.
  • comprimento útil inicial: L_0=50\\ \mathrm{mm}.
  • alongamento axial medido: \Delta L=13\\ \mathrm{mm}.
  • carga aplicada: P=60000\\ \mathrm{N}.
  • decréscimo no diâmetro (redução): \Delta d=0{,}006\\ \mathrm{mm}. (isto é, o diâmetro final é d_i=d_0-\Delta d.)
O enunciado pede:
a) a tensão real (tensão verdadeira) no instante considerado;
b) a tensão de engenharia (tensão nominal) nesse instante;
c) o módulo de elasticidade (módulo de Young) usando os dados elásticos;
d) o coeficiente de Poisson.

Passo 2

Área inicial da seção transversal (usamos seção circular). Explico a fórmula: a área de um círculo de diâmetro d é
A=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde A é a área em \mathrm{mm}^2 e d é o diâmetro em \mathrm{mm}.
Aplicando para d_0:
A_0=\frac{\pi d_0^2}{4}=\frac{\pi(12)^2}{4}=\pi\cdot36=36\pi\\ \mathrm{mm}^2.
Se for útil em número aproximado,
A_0\approx 36\pi\approx113{,}097\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 3

Tensão de engenharia (tensão nominal). Definição e fórmula: a tensão de engenharia é a força dividida pela área original,
\sigma_{\text{eng}}=\frac{P}{A_0},
onde P é a força em \mathrm{N} e A_0 a área inicial em \mathrm{mm}^2. A unidade resultante é \mathrm{N/mm}^2 que é igual a \mathrm{MPa}.
Substituindo os valores:
\sigma_{\text{eng}}=\frac{60000}{36\pi}\\ \mathrm{N/mm}^2.
Agora calculo numericamente:
\sigma_{\text{eng}}\approx\frac{60000}{113{,}0973355}\approx530{,}516\\ \mathrm{MPa}.
(Arredondarei depois; por enquanto guardo este valor.)

Passo 4

Área instantânea (usada para a tensão real). O diâmetro final é
d_i=d_0-\Delta d=12-0{,}006=11{,}994\\ \mathrm{mm}.
A área instantânea é
A_i=\frac{\pi d_i^2}{4}.
Uma forma prática de relacionar A_i com A_0 é usar a razão dos diâmetros:
\frac{A_i}{A_0}=\left(\frac{d_i}{d_0}\right)^2.
Como \dfrac{d_i}{d_0}=1-\dfrac{\Delta d}{d_0}=1-0{,}0005=0{,}9995, então
\left(\frac{d_i}{d_0}\right)^2=0{,}9995^2=0{,}99900025.
Portanto
A_i=A_0\cdot0{,}99900025\approx113{,}097\cdot0{,}99900025\approx112{,}985\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 5

Tensão real (verdadeira). Definição: tensão real é a força dividida pela área instantânea:
\sigma_{\text{real}}=\frac{P}{A_i}.
Usando a relação com \sigma_{\text{eng}}:
\sigma_{\text{real}}=\frac{P}{A_i}=\frac{P}{A_0}\cdot\frac{A_0}{A_i}=\sigma_{\text{eng}}\cdot\frac{1}{0{,}99900025}.
Como \dfrac{1}{0{,}99900025}\approx1{,}00100075, obtemos numericamente
\sigma_{\text{real}}\approx530{,}516\cdot1{,}00100075\approx531{,}048\\ \mathrm{MPa}.
(ou calculando diretamente 60000/112{,}985 chega-se ao mesmo valor aproximado.)

Passo 6

Deformação axial (engenharia) e módulo de elasticidade. Definição de deformação de engenharia axial (extensão relativa):
\varepsilon=\frac{\Delta L}{L_0},
onde \Delta L é o alongamento e L_0 o comprimento inicial.
Substituindo:
\varepsilon=\frac{13}{50}=0{,}26\quad(\text{o que corresponde a }26\%).
Para a fase elástica, o módulo de Young E é dado por
E=\frac{\sigma_{\text{eng}}}{\varepsilon},
ou seja, razão entre tensão de engenharia e deformação de engenharia (no regime elástico linear).
Substituindo os valores:
E=\frac{530{,}516\\ \mathrm{MPa}}{0{,}26}\approx2032{,}755\\ \mathrm{MPa}\approx2033\\ \mathrm{MPa}.
(Em unidades mais usuais, E\approx2{,}033\\ \mathrm{GPa}.)
Observação didática rápida: normalmente para metais E é da ordem de 200\\ \mathrm{GPa}; aqui obtivemos um valor muito menor porque o alongamento dado ( 13\\ \mathrm{mm} em 50\\ \mathrm{mm}) é enorme para um regime puramente elástico — isso indica que os números do enunciado são incomuns, mas os cálculos acima seguem as fórmulas pedidas.

Passo 7

Coeficiente de Poisson. Definição: coeficiente de Poisson \nu relaciona a deformação transversal com a deformação axial por
\nu=-\frac{\varepsilon_{\text{trans}}}{\varepsilon_{\text{axial}}}.
A deformação transversal (decréscimo relativo do diâmetro) pode ser aproximada por
\varepsilon_{\text{trans}}=\frac{\Delta d}{d_0}.
Aqui \Delta d é negativo quando o diâmetro diminui; o enunciado informou a magnitude da queda 0{,}006\\ \mathrm{mm}, portanto \Delta d=-0{,}006\\ \mathrm{mm}. Assim
\varepsilon_{\text{trans}}=\frac{-0{,}006}{12}=-0{,}0005.
Com \varepsilon_{\text{axial}}=0{,}26, temos
\nu=-\frac{-0{,}0005}{0{,}26}=\frac{0{,}0005}{0{,}26}\approx0{,}00192308.
Portanto
\nu\approx0{,}00192\quad(\text{adimensional}).

Passo 8

Resumo numérico final (valores arredondados com razoável número de dígitos significativos):
  • \sigma_{\text{real}}\approx531{,}05\\ \mathrm{MPa}.
  • \sigma_{\text{eng}}\approx530{,}52\\ \mathrm{MPa}.
  • E\approx2032{,}76\\ \mathrm{MPa} (ou 2{,}033\\ \mathrm{GPa}).
  • \nu\approx0{,}00192.

Resposta

a) \sigma_{\text{real}}=531{,}05\\ \mathrm{MPa}
b) \sigma_{\text{eng}}=530{,}52\\ \mathrm{MPa}
c) E=2032{,}76\\ \mathrm{MPa}
d) \nu=0{,}00192

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