Quantos números inteiros satisfazem à equação
\left(x^{2}-3 x+1\right)^{x+1}=1 ?
A) 1
B) 2
B) 5
C) 3
D) 4

Passo 1

O que o problema pede: contar quantos números inteiros x satisfazem a equação
\left(x^{2}-3 x+1\right)^{x+1}=1.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A incógnita é um número inteiro x.
  • A expressão tem a forma \text{base}^{\text{expoente}}=1, com \text{base}=x^{2}-3x+1 e \text{expoente}=x+1.
  • A pergunta é: quantos inteiros x tornam essa igualdade verdadeira?

Passo 2

Regra chave (mini-aula curta e bem prática): para inteiros (base inteira e expoente inteiro), quando vale \text{base}^{\text{expoente}}=1 ?
  • Se \text{expoente}=0 e \text{base}\neq0, então \text{base}^{0}=1.
  • Se \text{base}=1, então 1^{k}=1 para qualquer inteiro k.
  • Se \text{base}=-1, então (-1)^{k}=1 quando k é par.
    Observação importante: não existem outros inteiros (base inteira diferente de \pm1 e não nula) cujas potências inteiras dêem sempre 1. Logo só precisamos analisar esses três casos aplicados a \text{base}=x^{2}-3x+1 e \text{expoente}=x+1.

Passo 3

Caso 1: \text{expoente}=0.
Resolver \,x+1=0\.
x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1.
Verificação rápida: calcular a base em x=-1:
(-1)^{2}-3(-1)+1 = 1+3+1 = 5 \neq 0,
ou seja, a base não é zero, então 5^{0}=1. Portanto x=-1 é solução.

Passo 4

Caso 2: \text{base}=1.
Resolver \,x^{2}-3x+1=1\.
x^{2}-3x+1=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-3x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-3)=0.
Logo
x=0 \quad\text{ou}\quad x=3.
Para esses valores a base é 1, e 1^{x+1}=1 para qualquer inteiro x. Então x=0 e x=3 são soluções.

Passo 5

Caso 3: \text{base}=-1 e \text{expoente} par.
Resolver \,x^{2}-3x+1=-1\.
x^{2}-3x+1=-1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-3x+2=0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)(x-2)=0.
Logo
x=1 \quad\text{ou}\quad x=2.
Agora verificar a paridade do expoente \,x+1:
  • Para x=1: x+1=2, que é par. Então (-1)^{2}=1. Assim x=1 é solução.
  • Para x=2: x+1=3, que é ímpar. Então (-1)^{3}=-1\neq1. Assim x=2 não é solução.

Passo 6

Reunindo todas as soluções inteiras encontradas:
x=-1,\; x=0,\; x=1,\; x=3.
Esses são todos os inteiros que satisfazem a equação (casos exaustivos: expoente zero, base 1, base -1 com expoente par).

Resposta

4

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