Duas barras A e B de materiais diferentes apresentam, a 0^{\circ} \mathrm{C}, comprimentos respectivamente iguais a 75 cm e 75,3 \mathrm{~cm}. Os coeficientes de dilatação linear dos materiais A e B valem, respectivamente, 5,4.10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e 2,4.10^{-5}{ }^{\prime} \mathrm{O}^{-1}. A que temperatura devem ser aquecidas as barras para que seus comprimentos se tornem iguais?
(A) 127,76^{\circ} \mathrm{C}
(B) 133,76^{\circ} \mathrm{C}
(C) 176,33^{\circ} \mathrm{C}
(D) 186,44^{\circ} \mathrm{C}
(E) não há como as barras terem um mesmo comprimento a uma mesma temperatura.

Passo 1

O enunciado fornece duas barras A e B, medidas a 0^\circ\mathrm{C}, e pede a que temperatura devem ser aquecidas para que os comprimentos fiquem iguais. Dados fornecidos:
  • Comprimento inicial da barra A: L_{A0}=75\\ \text{cm}.
  • Comprimento inicial da barra B: L_{B0}=75{,}3\\ \text{cm}.
  • Coeficiente de dilatação linear do material A: \alpha_A=5{,}4\cdot10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Coeficiente de dilatação linear do material B: \alpha_B=2{,}4\cdot10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Temperatura inicial usada como referência: 0^\circ\mathrm{C} (logo \Delta T = T-0 = T).
    O que se pede: encontrar a temperatura T (em ^\circ\mathrm{C}) tal que os comprimentos finais de A e B sejam iguais. As opções são:
    (A) 127{,}76^\circ\mathrm{C}
    (B) 133{,}76^\circ\mathrm{C}
    (C) 176{,}33^\circ\mathrm{C}
    (D) 186{,}44^\circ\mathrm{C}
    (E) não é possível as barras terem o mesmo comprimento.

Passo 2

Apresentar a fórmula que descreve a dilatação linear e explicar as variáveis. Para variação de temperatura pequena/normal, o comprimento final L de uma barra é dado por:
L = L_0\,(1+\alpha\,\Delta T),
onde:
  • L_0 é o comprimento inicial à temperatura de referência ( 0^\circ\mathrm{C} aqui);
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material ( \mathrm{^\circ C^{-1}});
  • \Delta T é a variação de temperatura em relação à referência ( \Delta T = T-0 = T, em ^\circ\mathrm{C}).
    Essa fórmula vem da definição de dilatação linear: o aumento de comprimento é proporcional ao comprimento inicial e à mudança de temperatura.

Passo 3

Escrever as expressões dos comprimentos finais das duas barras usando a fórmula:
L_A(T) = L_{A0}\,(1+\alpha_A T),
L_B(T) = L_{B0}\,(1+\alpha_B T).
Queremos a temperatura T tal que L_A(T)=L_B(T). Então impondo a igualdade:
L_{A0}\,(1+\alpha_A T) = L_{B0}\,(1+\alpha_B T).

Passo 4

Resolver algebricamente a equação pela incógnita T. Desenvolvendo os parênteses:
L_{A0} + L_{A0}\alpha_A T = L_{B0} + L_{B0}\alpha_B T.
Colocando os termos que contêm T num lado e os constantes no outro:
L_{A0}\alpha_A T - L_{B0}\alpha_B T = L_{B0} - L_{A0}.
Fatorando T no lado esquerdo:
T\,(L_{A0}\alpha_A - L_{B0}\alpha_B) = L_{B0} - L_{A0}.
Isolando T:
T = \frac{L_{B0} - L_{A0}}{L_{A0}\alpha_A - L_{B0}\alpha_B}.
Observação qualitativa rápida: se L_{A0}\alpha_A - L_{B0}\alpha_B>0 então T tem o mesmo sinal de L_{B0}-L_{A0}. Aqui L_{B0}>L_{A0}, mas \alpha_A>\alpha_B; portanto é possível que a barra A, que expande mais, alcance a barra B a alguma temperatura positiva.

Passo 5

Substituir os valores numéricos (uso cm para comprimentos; unidades de \alpha compatíveis):
L_{A0}=75,\qquad L_{B0}=75{,}3,
\alpha_A=5{,}4\cdot10^{-5},\qquad \alpha_B=2{,}4\cdot10^{-5}.
Calcular o numerador:
L_{B0}-L_{A0}=75{,}3-75=0{,}3\\ \text{cm}.
Calcular os termos do denominador separadamente:
L_{A0}\alpha_A = 75\times 5{,}4\cdot10^{-5}=75\times 0{,}000054=0{,}00405,
L_{B0}\alpha_B = 75{,}3\times 2{,}4\cdot10^{-5}=75{,}3\times 0{,}000024=0{,}0018072.
Subtrair para obter o denominador:
L_{A0}\alpha_A - L_{B0}\alpha_B = 0{,}00405 - 0{,}0018072 = 0{,}0022428.
Portanto
T = \frac{0{,}3}{0{,}0022428}.

Passo 6

Efetuar a divisão e arredondar razoavelmente (a prova dá opções com duas casas decimais). Uma forma prática é multiplicar numerador e denominador por 10^4 para evitar muitos zeros:
T = \frac{0{,}3}{0{,}0022428} = \frac{3000}{22{,}428} \approx 133{,}76\\ ^\circ\mathrm{C}.
(Verificando aprox.: 22{,}428\times133{,}76\approx3000.)

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: como \alpha_A>\alpha_B a barra A expande mais por grau; a barra B começa um pouco maior, mas a barra A “alcança” B ao aquecer até T\approx133{,}76^\circ\mathrm{C}. Podemos checar os comprimentos finais aproximados:
L_A \approx 75(1+0{,}000054\times133{,}76)\approx75{,}5417\\ \text{cm},
L_B \approx 75{,}3(1+0{,}000024\times133{,}76)\approx75{,}5417\\ \text{cm},
valores praticamente iguais considerando arredondamento, confirmando a consistência do resultado.

Resposta

(B) 133{,}76^\circ\mathrm{C}

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