Duas barras
e
de materiais diferentes apresentam, a
, comprimentos respectivamente iguais a 75 cm e
. Os coeficientes de dilatação linear dos materiais A e B valem, respectivamente,
e
. A que temperatura devem ser aquecidas as barras para que seus comprimentos se tornem iguais?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) não há como as barras terem um mesmo comprimento a uma mesma temperatura.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) não há como as barras terem um mesmo comprimento a uma mesma temperatura.
Passo 1
O enunciado fornece duas barras A e B, medidas a
, e pede a que temperatura devem ser aquecidas para que os comprimentos fiquem iguais. Dados fornecidos:
- Comprimento inicial da barra A:
. - Comprimento inicial da barra B:
. - Coeficiente de dilatação linear do material A:
. - Coeficiente de dilatação linear do material B:
. - Temperatura inicial usada como referência:
(logo ).
O que se pede: encontrar a temperatura(em ) tal que os comprimentos finais de A e B sejam iguais. As opções são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) não é possível as barras terem o mesmo comprimento.
Passo 2
Apresentar a fórmula que descreve a dilatação linear e explicar as variáveis. Para variação de temperatura pequena/normal, o comprimento final
de uma barra é dado por:
onde:
-
é o comprimento inicial à temperatura de referência ( aqui); -
é o coeficiente de dilatação linear do material ( ); -
é a variação de temperatura em relação à referência ( , em ).
Essa fórmula vem da definição de dilatação linear: o aumento de comprimento é proporcional ao comprimento inicial e à mudança de temperatura.
Passo 3
Escrever as expressões dos comprimentos finais das duas barras usando a fórmula:
Queremos a temperatura
tal que
. Então impondo a igualdade:
Passo 4
Resolver algebricamente a equação pela incógnita
. Desenvolvendo os parênteses:
Colocando os termos que contêm
num lado e os constantes no outro:
Fatorando
no lado esquerdo:
Isolando
:
Observação qualitativa rápida: se
então
tem o mesmo sinal de
. Aqui
, mas
; portanto é possível que a barra A, que expande mais, alcance a barra B a alguma temperatura positiva.
Passo 5
Substituir os valores numéricos (uso cm para comprimentos; unidades de
compatíveis):
Calcular o numerador:
Calcular os termos do denominador separadamente:
Subtrair para obter o denominador:
Portanto
Passo 6
Efetuar a divisão e arredondar razoavelmente (a prova dá opções com duas casas decimais). Uma forma prática é multiplicar numerador e denominador por
para evitar muitos zeros:
(Verificando aprox.:
.)
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida: como
a barra A expande mais por grau; a barra B começa um pouco maior, mas a barra A “alcança” B ao aquecer até
. Podemos checar os comprimentos finais aproximados:
valores praticamente iguais considerando arredondamento, confirmando a consistência do resultado.
Resposta
(B)