Encuentre una solución del PVI de segundo orden que incluya la ecuación diferencial y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x} y las condiciones iniciales dadas.
y(1)=0, y^{\prime}(1)=e

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução do PVI (problema de valor inicial) de segunda ordem cuja solução geral é dada por y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x} e que satisfaça as condições iniciais
y(1)=0,\qquad y^{\prime}(1)=e.
As informações relevantes são: a forma geral da solução com constantes c_{1} e c_{2} e os dois valores iniciais dados em x=1.

Passo 2

Primeiro precisamos expressar a derivada y^{\prime}(x) em função de c_{1} e c_{2}. Derivando termo a termo:
y(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}
y^{\prime}(x)=c_{1}e^{x}-c_{2}e^{-x}.
Aqui usei a regra básica de derivação da exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais em x=1. Substituindo em y(1) e y^{\prime}(1) obtemos o sistema linear para c_{1} e c_{2}:
c_{1}e + c_{2}e^{-1}=0,
c_{1}e - c_{2}e^{-1}=e.
Expliquei: em cada equação substituí x=1 e usei e^{1}=e e e^{-1}=e^{-1}.

Passo 4

Vamos resolver o sistema somando e subtraindo as equações. Somando as duas equações:
(c_{1}e + c_{2}e^{-1}) + (c_{1}e - c_{2}e^{-1}) = 0 + e,
o que simplifica para
2c_{1}e = e.
Dividindo por 2e obtemos
c_{1}=\frac{e}{2e}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora encontramos c_{2} usando a primeira equação c_{1}e + c_{2}e^{-1}=0. Substituindo c_{1}=\dfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}e + c_{2}e^{-1}=0.
Isolando c_{2}:
c_{2}e^{-1}=-\frac{1}{2}e \quad\Rightarrow\quad c_{2}=-\frac{1}{2}e\cdot e = -\frac{1}{2}e^{2}.

Passo 6

Com c_{1} e c_{2} determinados, escrevemos a solução particular:
y(x)=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{2}e^{-x}.
Podemos simplificar a segunda parcela usando e^{2}e^{-x}=e^{2-x}, obtendo
y(x)=\frac{1}{2}\bigl(e^{x}-e^{2-x}\bigr).

Passo 7

Uma forma mais elegante, usando a função hiperbólica seno hiperbólico, é notar que
\frac{1}{2}\bigl(e^{x}-e^{2-x}\bigr)=e\cdot\frac{e^{x-1}-e^{-(x-1)}}{2}=e\operatorname{sinh}(x-1).
Assim a solução pode ser escrita como y(x)=e\operatorname{sinh}(x-1). Essa forma é útil para verificar facilmente as condições iniciais: y(1)=e\operatorname{sinh}(0)=0 e y^{\prime}(x)=e\operatorname{cosh}(x-1) y^{\prime}(1)=e\operatorname{cosh}(0)=e.

Resposta

\displaystyle y(x)=e\operatorname{sinh}(x-1)

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