Encuentre una solución del PVI de segundo orden que incluya la ecuación diferencial
y las condiciones iniciales dadas.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução do PVI (problema de valor inicial) de segunda ordem cuja solução geral é dada por
e que satisfaça as condições iniciais
As informações relevantes são: a forma geral da solução com constantes
e
e os dois valores iniciais dados em
.
Passo 2
Primeiro precisamos expressar a derivada
em função de
e
. Derivando termo a termo:
Aqui usei a regra básica de derivação da exponencial:
e
.
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais em
. Substituindo em
e
obtemos o sistema linear para
e
:
Expliquei: em cada equação substituí
e usei
e
.
Passo 4
Vamos resolver o sistema somando e subtraindo as equações. Somando as duas equações:
o que simplifica para
Dividindo por
obtemos
Passo 5
Agora encontramos
usando a primeira equação
. Substituindo
:
Isolando
:
Passo 6
Com
e
determinados, escrevemos a solução particular:
Podemos simplificar a segunda parcela usando
, obtendo
Passo 7
Uma forma mais elegante, usando a função hiperbólica seno hiperbólico, é notar que
Assim a solução pode ser escrita como
. Essa forma é útil para verificar facilmente as condições iniciais:
e
dá
.