( 1,0 ponto) Questão 3 - Uma nave, quando em repouso em relação ao solo, mede 100 metros. Se essa nave estiver movimentando-se paralelamente ao solo, com velocidade v=1,3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual será seu comprimento, medido por um observador fixo em relação ao solo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Comprimento da nave medido em repouso (comprimento próprio): L_0 = 100\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade da nave relativa ao solo: v = 1,3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Pergunta: qual é o comprimento L medido por um observador fixo em relação ao solo (ou seja, medido quando a nave está em movimento a v)?
  • Constante conhecida que será usada: velocidade da luz c = 3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Fórmula que relaciona os comprimentos (explicação didática):
L = L_0\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}.
O que cada símbolo significa:
  • L_0 é o comprimento próprio: o comprimento medido no referencial em que a nave está em repouso (aqui 100\\ \mathrm{m}).
  • L é o comprimento medido por um observador para o qual a nave está se movendo com velocidade v. Esse comprimento é menor que L_0 quando v>0.
  • v é a velocidade relativa entre nave e observador.
  • c é a velocidade da luz no vácuo.
    Conceito simples: objetos em movimento medidos por um observador “veem” o comprimento na direção do movimento encurtado por esse fator \sqrt{1-v^{2}/c^{2}}. Agora aplicamos a fórmula com os números dados.

Passo 3

Calcular a razão v/c:
\frac{v}{c}=\frac{1,3\times10^{8}}{3,0\times10^{8}}=\frac{1{,}3}{3{,}0}=0{,}433333\ldots=\frac{13}{30}.

Passo 4

Calcular v^{2}/c^{2} e o fator de contração:
\frac{v^{2}}{c^{2}}=\left(\frac{13}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}\approx0{,}187777\ldots
1-\frac{v^{2}}{c^{2}}=1-\frac{169}{900}=\frac{731}{900}\approx0{,}812222\ldots
\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=\sqrt{\frac{731}{900}}=\frac{\sqrt{731}}{30}\approx0{,}901234\ldots

Passo 5

Calcular o comprimento observado:
L = L_0\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=100\times0{,}901234\ldots\approx90{,}12\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida e incentivo: o comprimento medido do lado de fora fica menor do que 100\\ \mathrm{m} por causa do efeito relativístico. Dá pra ver que a diferença não é enorme aqui porque v é só cerca de 0{,}43c; em velocidades mais próximas de c a contração seria bem maior. Você está indo bem — foco nos passos e nas fórmulas que aparecem com frequência!

Resposta

90{,}12\\ \mathrm{m}

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