(1,0 ponto) Questão 4 - Uma espaçonave passa sobre a Terra com velocidade igual a
, sendo
a velocidade da luz no vácuo. O tripulante observa a pista de pouso de um aeroporto - orientada paralelamente à direção do movimento da nave - que, medida segundo o referencial da Terra, possui comprimento Lo. Qual será o comprimento da pista observado pelo tripulante?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (retiradas do texto da questão):
- A velocidade da espaçonave em relação à Terra é
. - A pista de pouso está em repouso no referencial da Terra e seu comprimento medido segundo o referencial da Terra é
. - A pista é orientada paralelamente à direção do movimento da nave.
O que a questão pede: - Determinar o comprimento da pista observado pelo tripulante da espaçonave (ou seja, o comprimento medido no referencial da nave).
Passo 2
Conceito chave — contração de Lorentz (comprimento relativístico).
- Em relatividade restrita, o comprimento de um objeto medido por um observador que vê o objeto em movimento é menor que o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso. Esse efeito chama-se contração de comprimento.
- Definições de variáveis:
-
é o comprimento próprio (proper length): comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso. Aqui a pista está em repouso na Terra, então é o comprimento medido na Terra. -
é o comprimento medido por um observador que vê o objeto movendo-se com velocidade . -
(fator de Lorentz) é definido por
-
- Fórmula da contração de comprimento:
Explicação rápida de por que essa fórmula vale (intuição e esboço matemático): para medir o comprimento no referencial da nave é necessário marcar as posições das duas extremidades da pista ao mesmo instante no tempo da nave; ao transformar essas medidas para o referencial da Terra usando as transformações de Lorentz obtém-se que a distância entre as posições simultâneas na nave é reduzida pelo fator
. (Aqui a fórmula acima já é o resultado padrão; nos exames costuma bastar saber o enunciado e aplicar.)
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso dado.
- Primeiro calcular o fator
com :
- Portanto
- Usando a fórmula da contração:
Passo 4
Interpretação e exemplo numérico para fixar:
- Resultado interpretado: o tripulante mede a pista com comprimento igual a sessenta por cento do comprimento medido na Terra. Ou seja, a pista parece encurtada para quem está na nave.
- Exemplo concreto: se
, então o tripulante mede .