(1,0 ponto) Questão 4 - Uma espaçonave passa sobre a Terra com velocidade igual a 0,80 c, sendo c a velocidade da luz no vácuo. O tripulante observa a pista de pouso de um aeroporto - orientada paralelamente à direção do movimento da nave - que, medida segundo o referencial da Terra, possui comprimento Lo. Qual será o comprimento da pista observado pelo tripulante?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (retiradas do texto da questão):
  • A velocidade da espaçonave em relação à Terra é \,v = 0,80\,c\,.
  • A pista de pouso está em repouso no referencial da Terra e seu comprimento medido segundo o referencial da Terra é \,L_0.
  • A pista é orientada paralelamente à direção do movimento da nave.
    O que a questão pede:
  • Determinar o comprimento da pista observado pelo tripulante da espaçonave (ou seja, o comprimento medido no referencial da nave).

Passo 2

Conceito chave — contração de Lorentz (comprimento relativístico).
  • Em relatividade restrita, o comprimento de um objeto medido por um observador que vê o objeto em movimento é menor que o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso. Esse efeito chama-se contração de comprimento.
  • Definições de variáveis:
    • \,L_0\, é o comprimento próprio (proper length): comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso. Aqui a pista está em repouso na Terra, então \,L_0\, é o comprimento medido na Terra.
    • \,L\, é o comprimento medido por um observador que vê o objeto movendo-se com velocidade \,v\,.
    • \,\gamma\, (fator de Lorentz) é definido por
    \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
  • Fórmula da contração de comprimento: L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\,\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}.
Explicação rápida de por que essa fórmula vale (intuição e esboço matemático): para medir o comprimento no referencial da nave é necessário marcar as posições das duas extremidades da pista ao mesmo instante no tempo da nave; ao transformar essas medidas para o referencial da Terra usando as transformações de Lorentz obtém-se que a distância entre as posições simultâneas na nave é reduzida pelo fator 1/\gamma. (Aqui a fórmula acima já é o resultado padrão; nos exames costuma bastar saber o enunciado e aplicar.)

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso dado.
  • Primeiro calcular o fator \sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}} com \,v=0,80\,c\,:
1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}} = 1-\left(0,80\right)^{2} = 1-0,64 = 0,36.
  • Portanto
\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}} = \sqrt{0,36} = 0,60.
  • Usando a fórmula da contração:
L = L_0\,\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}} = L_0 \times 0,60 = 0,60\,L_0.

Passo 4

Interpretação e exemplo numérico para fixar:
  • Resultado interpretado: o tripulante mede a pista com comprimento igual a sessenta por cento do comprimento medido na Terra. Ou seja, a pista parece encurtada para quem está na nave.
  • Exemplo concreto: se \,L_0 = 1{,}000\\ \text{m}, então o tripulante mede L = 0,60\times 1{,}000 = 600\\ \text{m}.

Resposta

L = 0,60\,L_0

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