\section*{
2 3,0 pontos
}
Dado que \left|\vec{\Omega}_{0}\right|=45 \mathrm{rpm} e o disco completa 2,5 revoluções antes de inverter o sentido de rotação, responda:
2.a) Se \alpha é constante, qual seria seu valor em \frac{\text { rad }}{\mathrm{s}^{2}} ?
\begin{aligned} \omega^{2} & =\omega_{0}^{2}+2 \alpha 2,52 \pi \mathrm{rad} \\\\ 0 & =\omega_{0}^{2}+10 \pi \mathrm{rad} \alpha \end{aligned}
Donde:
\begin{aligned} \alpha & =-\frac{\omega_{0}^{2}}{10 \pi \mathrm{rad}}=-\frac{\left[45 \frac{\mathrm{rev}}{\mathrm{~min}}\left(\frac{2 \pi \mathrm{rad}}{1 \mathrm{rev}}\right)\left(\frac{1 \mathrm{~min}}{60 \mathrm{~s}}\right)\right]^{2}}{10 \pi \mathrm{rad}}=-\frac{\left[\frac{3 \pi}{2} \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{~s}}\right]^{2}}{10 \pi \mathrm{rad}}=-\frac{\frac{9 \pi^{2}}{4} \frac{\mathrm{rad}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}}{10 \pi \mathrm{rad}} \\\ & =-\frac{9 \pi}{40} \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{~s}^{2}}=0,7069 \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{~s}^{2}} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: determinar o valor de \alpha (constante) em \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-2}.
  • Dados fornecidos:
    • \left|\vec{\Omega}_{0}\right| = 45\\ \mathrm{rpm} (módulo da velocidade angular inicial).
    • O disco completa 2{,}5 revoluções antes de inverter o sentido de rotação.
    • Foi usado o relacionamento cinemático \omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha\,\Delta\theta e nota-se que, no instante da inversão, a velocidade angular final é \omega=0.

Passo 2

Converter a velocidade angular inicial de \mathrm{rpm} para \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}. Explicando a ideia: 1\\ \mathrm{rev}=2\pi\\ \mathrm{rad} e 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}, então multiplicamos por 2\pi e dividimos por 60.
\omega_{0}=45\\ \frac{\mathrm{rev}}{\mathrm{min}}\times\frac{2\pi\\ \mathrm{rad}}{1\\ \mathrm{rev}}\times\frac{1\\ \mathrm{min}}{60\\ \mathrm{s}}
Agora simplificando:
\omega_{0}=45\cdot\frac{2\pi}{60}\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=\frac{45}{60}\cdot 2\pi\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=\frac{3}{4}\cdot 2\pi\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=\frac{3\pi}{2}\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}.
Portanto \omega_{0}=\dfrac{3\pi}{2}\\ \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1} (aprox. 4{,}712\\ \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}).

Passo 3

Determinar o deslocamento angular total \Delta\theta correspondente a 2{,}5 revoluções. Cada revolução é 2\pi\\ \mathrm{rad}, logo:
\Delta\theta = 2{,}5\\ \mathrm{rev}\times 2\pi\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{rev}} = 5\pi\\ \mathrm{rad}.

Passo 4

Apresentar a equação cinemática rotacional para aceleração angular constante e explicar cada termo:
  • \omega é a velocidade angular final (em \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}).
  • \omega_{0} é a velocidade angular inicial (em \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}).
  • \alpha é a aceleração angular (em \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-2}).
  • \Delta\theta é o deslocamento angular (em \mathrm{rad}).
A equação é
\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha\,\Delta\theta.
No instante em que o disco inverte o sentido, a velocidade angular passa por zero antes de mudar de sinal, portanto tomamos \omega=0. Substituindo isso obtemos:
0=\omega_{0}^{2}+2\alpha\,\Delta\theta \quad\Rightarrow\quad \alpha=-\dfrac{\omega_{0}^{2}}{2\Delta\theta}.

Passo 5

Substituir os valores calculados para \omega_{0} e \Delta\theta. Já temos \omega_{0}=\dfrac{3\pi}{2}\\ \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1} e \Delta\theta=5\pi\\ \mathrm{rad}. Então
\alpha=-\dfrac{\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)^{2}}{2\cdot 5\pi}.
Calcular o numerador e o denominador passo a passo:
\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)^{2}=\dfrac{9\pi^{2}}{4}, \qquad 2\cdot 5\pi = 10\pi.
Assim
\alpha=-\dfrac{\dfrac{9\pi^{2}}{4}}{10\pi}=-\dfrac{9\pi^{2}}{4}\cdot\dfrac{1}{10\pi}=-\dfrac{9\pi}{40}.

Passo 6

Avaliar numericamente e interpretar o sinal. Calculando numericamente:
\dfrac{9\pi}{40}\approx 0{,}7069,
portanto
\alpha\approx -0{,}7069\\ \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-2}.
O sinal negativo indica que a aceleração angular é oposta ao sentido da velocidade angular inicial — ou seja, trata-se de uma desaceleração que leva o disco a parar e inverter o sentido.

Resposta

\alpha = -0,7069\\ \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-2}

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