Duas cargas elétricas pontuais -q_{1} e q_{2}=-3 q_{1} estão dispostas, nesta ordem ( q_{2} à diretita de q_{1} ), ao longo de uma linha horizontal e separadas por uma distância \ell. As cargas são mantidas em equilíbrio estático por uma terceira carga elétrica. Sobre está situação é correto afirmar que:
(a) A força elétrica que q_{2} exerce sobre q_{1} é três vezes maior do que aquela que q_{1} exerce sobre q_{2}, pois o valor da carga elétrica de q_{2} é 3 vezes maior do que aquele de q_{1}.
(b) A força elétrica que q_{1} exerce sobre q_{2} é de repulsão.
(c) Para que seja estabelecido o equilíbrio estático uma carga elétrica -q deve ser colocada ao longo da linha que passa pelos centros de q_{1} e q_{2} e à direita de q_{2}.
(d) Se o equilíbrio é estático a força que q_{1} exerce sobre -q deve ser igual à força que q_{1} exerce sobre q_{2}.
(e) O sentido da força elétrica que q_{2} exerce sobre -q é para a direita.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Há duas cargas pontuais ao longo de uma linha horizontal, dispostas assim (da esquerda para a direita): a carga -q_{1} (na posição x=0, por exemplo) e, à direita dela, a carga q_{2}=-3q_{1} (na posição x=\ell).
  • Logo, ambas as cargas são negativas se assumirmos q_{1}>0: -q_{1}<0 e q_{2}=-3q_{1}<0. A segunda tem módulo três vezes maior que a primeira.
  • Uma terceira carga elétrica (não especificada) é colocada de modo que as cargas originais fiquem em equilíbrio estático.
  • O enunciado apresenta cinco afirmações (a)–(e) e pede para identificar quais são corretas.
Observações úteis que vou usar depois (sem resolver nada ainda):
  • Distância entre as duas primeiras cargas: \ell.
  • Não foi dado o sinal ou a posição da terceira carga; isso precisa ser inferido a partir da condição de equilíbrio.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntiformes):
    \text{módulo }F = k\frac{|q_A q_B|}{r^2},ó
    onde k é a constante eletrostática, q_A e q_B são as cargas e r é a distância entre elas. A força é ao longo da linha que une as cargas; o sinal (direção) depende dos sinais das cargas: cargas de mesmo sinal se repelem; de sinais opostos se atraem.
  • Superposição: a força resultante sobre uma carga é a soma vetorial das forças individuais exercidas por cada uma das outras cargas.
  • Terceira lei de Newton aplicada a forças elétricas: a força que a carga A exerce sobre B tem mesmo módulo e direção oposta à força que B exerce sobre A. Em símbolos: \vec{F}_{A\to B} = -\vec{F}_{B\to A} e |\vec{F}_{A\to B}| = |\vec{F}_{B\to A}|.
Vou usar esses pontos para analisar cada item.

Passo 3

Análise da afirmação (a):
“(a) A força elétrica que q_{2} exerce sobre q_{1} é três vezes maior do que aquela que q_{1} exerce sobre q_{2}, pois o valor da carga elétrica de q_{2} é 3 vezes maior do que aquele de q_{1}.”
  • Pela Lei de Coulomb, o módulo da força entre -q_{1} e q_{2}=-3q_{1} é F = k\frac{|(-q_{1})\cdot(-3q_{1})|}{\ell^{2}} = k\frac{3q_{1}^{2}}{\ell^{2}}.
  • A terceira lei de Newton garante que as forças são de mesmo módulo e sentidos opostos: |\vec{F}_{q_{2}\to q_{1}}| = |\vec{F}_{q_{1}\to q_{2}}| = F.
  • Portanto a afirmação de que uma é três vezes maior que a outra está incorreta. O fato de q_{2} ter módulo três vezes maior NÃO implica que a força de q_{2} sobre q_{1} seja três vezes maior; a força mútua depende do produto das cargas e a igualdade de ação e reação vale sempre.
Conclusão: (a) é falsa.

Passo 4

Análise da afirmação (b):
“(b) A força elétrica que q_{1} exerce sobre q_{2} é de repulsão.”
  • As cargas dadas são -q_{1} (esquerda) e q_{2}=-3q_{1} (direita). Ambas têm o mesmo sinal (negativo), são cargas de mesmo sinal.
  • Regra: cargas de mesmo sinal se repelem. Logo, a interação entre -q_{1} e -3q_{1} é de repulsão.
  • Em particular, a força que q_{1} exerce sobre q_{2} é de repulsão: q_{1} “empurra” q_{2} para a direita (pois q_{1} está à esquerda).
Conclusão: (b) é verdadeira.

Passo 5

Determinação do sinal e da posição qualitativa da terceira carga necessários para equilíbrio (isso ajuda a avaliar (c),(d),(e)).
  • Para haver equilíbrio estático das duas cargas originais, a força resultante sobre cada uma deve ser nula (somatória vetorial das forças sobre cada carga = 0).
  • Considere a carga esquerda -q_{1} (na posição x=0):
    • A força exercida por q_{2} (à direita) sobre -q_{1} é de repulsão para a esquerda (isto é, q_{2} empurra -q_{1} para a esquerda).
    • Para cancelar essa força para a esquerda, a terceira carga deve exercer sobre -q_{1} uma força para a direita. Isso significa que a terceira carga deve atrair -q_{1} (atração aponta para a terceira carga) e, portanto, a terceira carga deve ter sinal oposto ao de -q_{1}. Como -q_{1} é negativa, a terceira carga precisa ser positiva.
    • Além disso, para atrair -q_{1} para a direita, essa carga positiva deve estar situada à direita de -q_{1}.
  • Agora considere a carga direita q_{2}=-3q_{1} (na posição x=\ell):
    • A força de -q_{1} sobre q_{2} é repulsiva para a direita (empurra q_{2} para a direita).
    • Para cancelar essa força para a direita, a terceira carga deve exercer sobre q_{2} uma força para a esquerda; isso exige que a terceira carga atraia q_{2}, ou seja, que a terceira carga seja de sinal oposto a q_{2}. Como q_{2} é negativa, de novo a terceira carga deve ser positiva.
    • Para atrair q_{2} para a esquerda, a carga positiva deve estar à esquerda de q_{2}.
  • Juntando as duas exigências: a terceira carga deve ser positiva e deve estar entre -q_{1} e q_{2} (isto é, numa posição x tal que 0<x<\ell). Assim ela atrai ambos para o centro, equilibrando as repulsões mútuas.
Conclusão importante (usada adiante): a terceira carga que permite equilíbrio é positiva e deve ser colocada entre -q_{1} e q_{2}. Qualquer proposta de terceira carga negativa colocada à direita de q_{2} não produz o equilíbrio dos dois originais.

Passo 6

Análise da afirmação (c):
"(c) Para que seja estabelecido o equilíbrio estático uma carga elétrica -q deve ser colocada ao longo da linha que passa pelos centros de q_{1} e q_{2} e à direita de q_{2}."
  • Do passo anterior: para equilibrar as duas cargas negativas é necessário que a terceira carga seja positiva e esteja entre elas.
  • A afirmação diz que a terceira carga deve ser negativa ( -q) e colocada à direita de q_{2}. Isso contradiz a condição de equilíbrio deduzida (terceira carga deve ser positiva e entre as duas).
  • Além disso, se a terceira carga fosse negativa e estivesse à direita de q_{2}, ela repeliria ambas as cargas (quando aplicável) e não poderia atrair as cargas originais na direção necessária para compensar as repulsões mútuas.
Conclusão: (c) é falsa.

Passo 7

Análise da afirmação (d):
“(d) Se o equilíbrio é estático a força que q_{1} exerce sobre -q deve ser igual à força que q_{1} exerce sobre q_{2}.”
  • Interpretação física: para o corpo estar em equilíbrio, a força resultante sobre cada carga deve ser zero. Em particular, para a carga -q_{1} em x=0 a força exercida por q_{2} (direita) para a esquerda deve ser cancelada pela força exercida pela terceira carga (para a direita).
  • Em módulo: |\vec{F}_{q_{2}\to q_{1}}| = |\vec{F}_{\text{3}\to q_{1}}|.
  • Pela terceira lei de Newton, o módulo da força que q_{1} exerce sobre q_{2} é igual ao módulo da força que q_{2} exerce sobre q_{1}: |\vec{F}_{q_{1}\to q_{2}}| = |\vec{F}_{q_{2}\to q_{1}}|. E também |\vec{F}_{q_{1}\to \text{3}}| = |\vec{F}_{\text{3}\to q_{1}}|.
  • Combinando, a condição |\vec{F}_{q_{2}\to q_{1}}| = |\vec{F}_{\text{3}\to q_{1}}| implica |\vec{F}_{q_{1}\to q_{2}}| = |\vec{F}_{q_{1}\to \text{3}}|.
  • Portanto, em termos de módulos, a força que q_{1} exerce sobre a terceira carga deve ter o mesmo módulo da força que q_{1} exerce sobre q_{2}.
  • Observação sobre interpretação: a afirmação não especifica “módulo” explicitamente, mas em física é natural interpretar essa igualdade como igualdade de módulos de forças (pois forças aplicadas a corpos diferentes não podem ser vetorialmente iguais). Se alguém interpretasse como igualdade vetorial entre forças aplicadas a partículas distintas, essa interpretação seria sem sentido físico; a interpretação correta e física é a de igualdade de módulos (magnitudes), que é verdadeira.
Conclusão: (d) é verdadeira (no sentido físico de igualdade dos módulos das forças que q_{1} exerce sobre as outras duas cargas, decorrente do equilíbrio).

Passo 8

Análise da afirmação (e):
“(e) O sentido da força elétrica que q_{2} exerce sobre -q é para a direita.”
  • Primeiro: na configuração que permite equilíbrio, a terceira carga é positiva e está entre -q_{1} e q_{2} (ver passo 5). Assim a terceira carga NÃO é -q (negativa), é +Q (positiva). A afirmação (e) fala explicitamente sobre uma carga -q (negativa); essa situação contradiz a que produz o equilíbrio.
  • Mesmo analisando a afirmação isoladamente: se houvesse uma carga -q colocada à direita de q_{2}, então q_{2} (negativa) e -q (negativa) seriam de mesmo sinal e, portanto, se repeliriam. Se -q estivesse à direita de q_{2}, a repulsão faria a força de q_{2} sobre -q apontar para a direita — nesse caso simples a afirmação seria verdadeira. Porém:
    • O enunciado fixa que a configuração real é de equilíbrio estático graças à terceira carga. Para que exista equilíbrio a terceira carga não pode ser -q à direita de q_{2} (ver passo 5), logo a situação da afirmação (e) não corresponde à situação do enunciado.
    • Se, ao invés, a terceira carga positiva estiver entre as duas, o sentido da força que q_{2} exerce sobre essa terceira carga positiva é para a esquerda (atração), não para a direita.
  • Portanto, considerando a situação dada (equilíbrio mantido por terceira carga), a afirmação (e) é incorreta.
Conclusão: (e) é falsa.

Resposta

(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso

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