Q9.- Duas ondas coerentes, vindas de fontes de diferentes localizações, se movem junto ao eixo x. Suas funções de onda são
E_{1}=860 \sin \left[\frac{2 \pi x_{1}}{650}-924 \pi t+\frac{\pi}{6}\right] \quad \text { e } \quad E_{2}=860 \sin \left[\frac{2 \pi x_{2}}{650}-924 \pi t+\frac{\pi}{8}\right]
onde E_{1} e E_{2} estão em volts por metro, x_{1} e x_{2} em nanômetros e t em picos-segundos. Quando as duas ondas estão sobrepostas, determine a relação entre x_{1} e x_{2} que produz interferência construtiva.

Passo 1

O enunciado nos dá duas ondas coerentes com as funções de onda (peguei as expressões do enunciado):
E_{1}=860 \sin\!\left[\frac{2\pi x_{1}}{650}-924\pi t+\frac{\pi}{6}\right]
E_{2}=860 \sin\!\left[\frac{2\pi x_{2}}{650}-924\pi t+\frac{\pi}{8}\right]
Informações relevantes fornecidas:
  • As amplitudes são 860 (em \mathrm{V/m}), iguais para as duas ondas.
  • O termo espacial tem coeficiente \dfrac{2\pi}{650}; como x_{1} e x_{2} estão em nanômetros, isso indica que a onda tem número de onda k=\dfrac{2\pi}{650}\\ \mathrm{nm^{-1}} e comprimento de onda \lambda=650\\ \mathrm{nm}.
  • O termo temporal é idêntico para ambas as ondas ( -924\pi t), ou seja, têm a mesma frequência angular \omega.
  • As fases iniciais (constantes) são \phi_{1}=\dfrac{\pi}{6} e \phi_{2}=\dfrac{\pi}{8}.
    O que se pede: determinar a relação entre x_{1} e x_{2} que produz interferência construtiva quando as ondas se sobrepõem.

Passo 2

Conceito básico (muito importante): quando duas ondas harmônicas de mesma frequência se sobrepõem, o efeito (construtivo ou destrutivo) depende da diferença de fase entre elas no ponto e no instante considerados.
  • Se a diferença de fase total \Delta satisfaz
\Delta = 2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z},
temos interferência construtiva (as cristas somam).
  • Se \Delta=(2n+1)\pi, temos interferência destrutiva máxima.
Aqui a diferença de fase entre E_{1} e E_{2}, ao avaliar as duas ondas no mesmo instante t (o termo -\omega t cancela), é causada pela diferença das partes espaciais e das fases iniciais:
\Delta = k(x_{1}-x_{2}) + (\phi_{1}-\phi_{2}),
onde k é o número de onda \,k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{650}\\ \mathrm{nm^{-1}}.

Passo 3

Calcular a diferença de fase inicial \phi_{1}-\phi_{2}:
\phi_{1}-\phi_{2}=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{8} =\pi\!\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\right) =\pi\!\left(\frac{4-3}{24}\right) =\frac{\pi}{24}.

Passo 4

Impor a condição de interferência construtiva \Delta=2\pi n. Substituindo k e \phi_{1}-\phi_{2}:
\frac{2\pi}{650}\,(x_{1}-x_{2})+\frac{\pi}{24}=2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Agora resolvemos essa equação para x_{1}-x_{2}.

Passo 5

Isolando x_{1}-x_{2}:
\frac{2\pi}{650}\,(x_{1}-x_{2})=2\pi n-\frac{\pi}{24}.
Dividindo ambos os lados por 2\pi:
\frac{1}{650}\,(x_{1}-x_{2})=n-\frac{1}{48}.
Multiplicando por 650:
x_{1}-x_{2}=650\left(n-\frac{1}{48}\right)\\ \text{nm},\qquad n\in\mathbb{Z}.
(Observação numérica: para n=1 x_{1}-x_{2}=650\cdot\frac{47}{48}\approx636{,}4583\\ \text{nm}; para n=0 x_{1}-x_{2}=-\dfrac{650}{48}\approx-13{,}5417\\ \text{nm}.)

Resposta

x_{1}-x_{2}=650\!\left(n-\dfrac{1}{48}\right)\\ \text{nm},\quad n\in\mathbb{Z}

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