Duas cargas pontuais de mesma massa m e carga Q estão suspensas em um ponto comum por dois fios de massa desprezível e comprimento l. Demonstre que, na situação de equilíbrio, o ângulo de inclinação alpha de cada um dos fios em relação à vertical é dado por:
Q=raiz16 pi varepsilon0 m g l^2 sen^2(alpha) tg(alpha)
Se alpha é muito pequeno, demonstre que:
alpha=raiz[3]Q^216 pi varepsilon0 m g l^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de física envolvendo cargas elétricas e estática. O enunciado fala sobre duas cargas pontuais iguais, cada uma com massa e carga , suspensas por fios de comprimento e massa desprezível. Nosso objetivo é demonstrar duas equações que relacionam a carga e o ângulo que os fios fazem com a vertical quando estão em equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força elétrica (Lei de Coulomb), equilíbrio de forças e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação: duas cargas iguais estão penduradas por fios e se repelindo devido à força elétrica. No equilíbrio, as forças que atuam em cada carga estão balanceadas. As principais forças aqui são:
  1. Força da gravidade ( ): Puxa a carga para baixo, calculada por , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Tensão no fio ( ): Atua ao longo do fio, fazendo um ângulo com a vertical.
  3. Força elétrica ( ): Repulsiva entre as cargas, dada pela Lei de Coulomb , onde é a distância entre as cargas e é a permitividade do vácuo.

Passo 3

Vamos decompor a tensão T cos(alpha) = m cdot g em duas componentes:
  • Componente vertical ( T sin(alpha) = Fe ): Equilibra a força da gravidade.
  • Componente horizontal ( ): Equilibra a força elétrica de repulsão.
No equilíbrio, essas componentes devem satisfazer:

Passo 4

Agora, vamos relacionar a distância d = 2l sin(alpha) entre as cargas com o comprimento do fio Fe = 14pivarepsilon0 cdot Q^2(2l sin(alpha))^2 = Q^216pivarepsilon0 l^2 sin^2(alpha) e o ângulo . Como os fios formam um triângulo, temos:
Isso nos ajuda a expressar a força elétrica em termos de :

Passo 5

Vamos agora relacionar as duas equações de equilíbrio das componentes da tensão:
T sin(alpha)T cos(alpha) = Fem cdot g
Simplificando:
tan(alpha) = Fem cdot g
Substituindo tan(alpha) = Q^216pivarepsilon0 l^2 sin^2(alpha) cdot m cdot g :

Passo 6

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar Q^2 = 16pivarepsilon0 l^2 m g sin^2(alpha) tan(alpha) :
Q = raiz16pivarepsilon0 l^2 m g sin^2(alpha) tan(alpha)
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
O que nos dá a primeira equação que precisávamos demonstrar.

Passo 7

Para a segunda parte, onde sin(alpha) approx alpha é muito pequeno, podemos usar as aproximações trigonométricas:
tan(alpha) approx alpha
Q = raiz16pivarepsilon0 l^2 m g alpha^2 cdot alpha = raiz16pivarepsilon0 l^2 m g alpha^3
Substituindo na equação anterior:
Q^2 = 16pivarepsilon0 l^2 m g alpha^3
Quadrando ambos os lados:
alpha^3 = Q^216pivarepsilon0 l^2 m g
Isolando alpha = raiz[3]Q^216pivarepsilon0 l^2 m g :
E assim, demonstramos a segunda equação para muito pequeno.

Resposta

Demonstramos que, no equilíbrio, o ângulo Q = raiz16 pi varepsilon0 m g l^2 sin^2(alpha) tan(alpha) está relacionado à carga alpha = raiz[3]Q^216 pi varepsilon0 m g l^2 pelas equações:
e, para ângulos muito pequenos:

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