Duas cargas pontuais de mesma massa
e carga
estão suspensas em um ponto comum por dois fios de massa desprezível e comprimento
. Demonstre que, na situação de equilíbrio, o ângulo de inclinação
de cada um dos fios em relação à vertical é dado por:
Se
é muito pequeno, demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de física envolvendo cargas elétricas e estática. O enunciado fala sobre duas cargas pontuais iguais, cada uma com massa
e carga
, suspensas por fios de comprimento
e massa desprezível. Nosso objetivo é demonstrar duas equações que relacionam a carga
e o ângulo
que os fios fazem com a vertical quando estão em equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força elétrica (Lei de Coulomb), equilíbrio de forças e trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a situação: duas cargas iguais estão penduradas por fios e se repelindo devido à força elétrica. No equilíbrio, as forças que atuam em cada carga estão balanceadas. As principais forças aqui são:
- Força da gravidade (
): Puxa a carga para baixo, calculada por , onde é a aceleração da gravidade. - Tensão no fio (
): Atua ao longo do fio, fazendo um ângulo com a vertical. - Força elétrica (
): Repulsiva entre as cargas, dada pela Lei de Coulomb , onde é a distância entre as cargas e é a permitividade do vácuo.
Passo 3
Vamos decompor a tensão
em duas componentes:
- Componente vertical (
): Equilibra a força da gravidade. - Componente horizontal (
): Equilibra a força elétrica de repulsão.
No equilíbrio, essas componentes devem satisfazer:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a distância
entre as cargas com o comprimento do fio
e o ângulo
. Como os fios formam um triângulo, temos:
Isso nos ajuda a expressar a força elétrica
em termos de
:
Passo 5
Vamos agora relacionar as duas equações de equilíbrio das componentes da tensão:
Simplificando:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
O que nos dá a primeira equação que precisávamos demonstrar.
Passo 7
Para a segunda parte, onde
é muito pequeno, podemos usar as aproximações trigonométricas:
Substituindo na equação anterior:
Quadrando ambos os lados:
Isolando
:
E assim, demonstramos a segunda equação para
muito pequeno.
Resposta
Demonstramos que, no equilíbrio, o ângulo
está relacionado à carga
pelas equações:
e, para ângulos muito pequenos: