(2,5) Duas cargas pontuais no vácuo, q_{1}=+q e q_{2}=-q(q>0), estão posicionados no plano (x(m) ; y(m)) nas posições: P_{1}=(0 ; 2) m e P_{2}= (2 ; 0) m, respectivamente. A) Qual o vetor campo elétrico na origem (P=(0 ; 0)) na notação dos vetores unitários? B) Qual é vetor força elétrica (na notação de vetores unitários) ao se colocar uma terceira carga de valor q=-q na origem ( P=(0 ; 0) )? Considere os versores positivos nas direções: horizontalmente para a direita e verticalmente para cima.

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede:
  • Cargas: \,q_{1}=+q e \,q_{2}=-q com q>0.
  • Posições no plano (x;y):
    \;P_{1}=(0;2)\,\text{m} (para q_{1}) e \;P_{2}=(2;0)\,\text{m} (para q_{2}).
  • Ponto onde queremos o campo e depois a força: a origem \;P=(0;0).
  • Direções positivas: horizontal para a direita (vetor unitário \hat{\mathbf{i}}) e vertical para cima (vetor unitário \hat{\mathbf{j}}).
  • Pedidos:
    A) O vetor campo elétrico em (0;0) na notação de vetores unitários.
    B) O vetor força sobre uma terceira carga \,q_{3}=-q colocada na origem, também em notação de vetores unitários.

Passo 2

Lembrete da lei de Coulomb para o campo elétrico de uma carga pontual:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{q}{r^{2}}\;\hat{r},
onde:
  • \mathbf{r} é o ponto onde se calcula o campo;
  • q é a carga fonte;
  • r=\|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\text{fonte}}\| é a distância entre a fonte e o ponto;
  • \hat{r}=\dfrac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\text{fonte}}}{r} é o versor que aponta da carga fonte para o ponto onde se calcula o campo;
  • \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo e k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} é uma constante conveniente.
Vou aplicar essa fórmula separadamente para cada carga e somar os campos vetorialmente (superposição).

Passo 3

Campo devido a q_{1}=+q em P_{1}=(0;2) no ponto origem (0;0).
  • Vetor que vai da carga para a origem: \mathbf{r}_{1}=\mathbf{r}_{\text{origem}}-\mathbf{r}_{1}=(0-0,\;0-2)=(0,-2).
  • Distância: r_{1}=\|\mathbf{r}_{1}\|=2.
  • Versor: \hat{r}_{1}=\dfrac{\mathbf{r}_{1}}{r_{1}}=(0,-1)= -\hat{\mathbf{j}}.

Passo 4

Magnitude do campo de q_{1}:
|\mathbf{E}_{1}|=k\dfrac{q}{r_{1}^{2}}=k\dfrac{q}{2^{2}}=k\dfrac{q}{4}.
Direção é \hat{r}_{1}=-\hat{\mathbf{j}}. Portanto
\mathbf{E}_{1}=k\dfrac{q}{4}\,(-\hat{\mathbf{j}})=-\left(k\dfrac{q}{4}\right)\hat{\mathbf{j}}.
Substituindo k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}:
\mathbf{E}_{1}=-\dfrac{q}{16\pi\epsilon_{0}}\,\hat{\mathbf{j}}.

Passo 5

Campo devido a q_{2}=-q em P_{2}=(2;0) no ponto origem (0;0).
  • Vetor da carga para a origem: \mathbf{r}_{2}=(0-2,\;0-0)=(-2,0).
  • Distância: r_{2}=2.
  • Versor: \hat{r}_{2}=(-1,0)=-\hat{\mathbf{i}}.

Passo 6

Magnitude do campo de q_{2}:
|\mathbf{E}_{2}|=k\dfrac{|q_{2}|}{r_{2}^{2}}=k\dfrac{q}{4}.
Mas atenção ao sinal da carga: q_{2}=-q. A expressão vetorial com o sinal fica
\mathbf{E}_{2}=k\dfrac{q_{2}}{r_{2}^{2}}\hat{r}_{2}=k\dfrac{(-q)}{4}(-\hat{\mathbf{i}}).
Os dois sinais negativos se cancelam:
\mathbf{E}_{2}=+\left(k\dfrac{q}{4}\right)\hat{\mathbf{i}}=\dfrac{q}{16\pi\epsilon_{0}}\,\hat{\mathbf{i}}.

Passo 7

Somando os campos \mathbf{E}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2} componente a componente:
\mathbf{E}=\dfrac{q}{16\pi\epsilon_{0}}\,\hat{\mathbf{i}} \;+\; \left(-\dfrac{q}{16\pi\epsilon_{0}}\right)\hat{\mathbf{j}} =\dfrac{q}{16\pi\epsilon_{0}}\big(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}\big).
Interpretação rápida: os módulos dos campos individuais são iguais (mesma distância e mesmo |q|) e o campo resultante aponta para a direita e para baixo com componentes iguais.

Passo 8

Agora a força sobre uma terceira carga \,q_{3}=-q colocada na origem. Lei da força elétrica sobre uma carga em um campo:
\mathbf{F}=q_{3}\,\mathbf{E}.
Substituindo q_{3}=-q e o campo calculado:
\mathbf{F}=(-q)\cdot\left[\dfrac{q}{16\pi\epsilon_{0}}(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}})\right] =-\dfrac{q^{2}}{16\pi\epsilon_{0}}(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}).
Podemos reescrever para ficar mais intuitivo:
\mathbf{F}=\dfrac{q^{2}}{16\pi\epsilon_{0}}(-\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}).
Ou seja, a força aponta para a esquerda e para cima (componentes de mesmo módulo).

Resposta

A) \displaystyle \mathbf{E}=\dfrac{q}{16\pi\epsilon_{0}}\big(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}\big)
B) \displaystyle \mathbf{F}=\dfrac{q^{2}}{16\pi\epsilon_{0}}\big(-\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}\big)

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