Q13. Um corpo de 2 kg escorrega sobre o assoalho liso do carro com velocidade inicial de 10 \mathrm{~ms}^{-1} \hat{\mathrm{i}}. (a) Descreva o movimento do corpo. (b) Quando o corpo atinge a sua posição inicial em relação ao assoalho? R: x(t)=x_{0}+10 t-2,5 t^{2} e v_{x}(t)=10-5 t ; 4 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Um corpo de massa m=2\\ \mathrm{kg} está sobre o assoalho liso do carro (ou seja, sem atrito horizontal).
  • A velocidade inicial do corpo, medida em relação ao assoalho do carro, é \mathbf{v}_0 = 10\\ \mathrm{m\,s^{-1}}\\ \hat{\mathbf{i}}.
  • Pergunta (a): descrever o movimento do corpo.
  • Pergunta (b): quando o corpo atinge a sua posição inicial em relação ao assoalho?
Observação importante: a solução fornecida no enunciado finaliza com aceleração relativa igual a -5\\ \mathrm{m\,s^{-2}}. Para obter esse valor é necessário que o carro tenha aceleração constante para a direita de magnitude 5\\ \mathrm{m\,s^{-2}}. Vou assumir, portanto, que o carro acelera para a direita com \mathbf{a}_{\text{car}}=5\\ \mathrm{m\,s^{-2}}\\ \hat{\mathbf{i}}. Com isso conseguimos obter as expressões pedidas que coincidem com a resposta indicada.

Passo 2

Entendendo as forças no referencial do carro (referencial não inercial):
  • Como o assoalho é liso, não há força de atrito horizontal sobre o corpo; não existem forças reais horizontais.
  • No referencial acelerado do carro devemos incluir a força fictícia (pseudo-força) sobre o corpo, que vale -m\mathbf{a}_{\text{car}}. Essa pseudo-força atua na direção oposta à aceleração do carro.
  • Assim, resultante horizontal efetiva no referencial do carro é
\sum F_x = -m a_{\text{car}}.
Aplicando a segunda lei no referencial do carro (contando a pseudo-força como força aplicada), temos
m a_x = -m a_{\text{car}}.
Cancelando m obtemos
a_x = -a_{\text{car}}.

Passo 3

Substituindo a aceleração do carro assumida:
a_{\text{car}} = 5\\ \mathrm{m\,s^{-2}} \quad\Rightarrow\quad a_x = -5\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Comentário didático curto: o sinal negativo diz que, no referencial do carro, a aceleração do corpo é para a esquerda (oposta ao sentido da aceleração do carro). Note que a massa m não entra no resultado final: o movimento horizontal relativo ao carro independe de m quando não há atrito.

Passo 4

Relembrando as fórmulas de cinemática para aceleração constante (úteis na prova):
  • Velocidade em função do tempo:
v_x(t)=v_{x0}+a_x t,
onde v_{x0} é a velocidade inicial em t=0 e a_x é a aceleração constante.
  • Posição em função do tempo:
x(t)=x_0 + v_{x0} t + \tfrac{1}{2} a_x t^2,
onde x_0 é a posição inicial (em relação ao assoalho) em t=0.
Expliquei cada variável: v_{x0} é a velocidade inicial ao longo do eixo x, a_x aceleração constante ao longo do eixo x, x_0 posição inicial.

Passo 5

Agora aplicamos os valores numéricos:
  • v_{x0}=10\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • a_x=-5\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Velocidade:
v_x(t)=10 + (-5)\,t = 10 - 5t\\ \\ (\mathrm{m\,s^{-1}}).
Posição:
x(t)=x_0 + 10\,t + \tfrac{1}{2}(-5)\,t^2 = x_0 + 10 t - 2{,}5\,t^2\\ \\ (\mathrm{m}).
Mostrei passo a passo: metade de -5 é -2{,}5, daí o termo quadrático.

Passo 6

Descrição qualitativa do movimento (resposta da parte (a)):
  • No referencial do carro, o bloco começa com velocidade para a direita de 10\\ \mathrm{m\,s^{-1}} e sofre uma aceleração constante para a esquerda de 5\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Isso significa que o bloco está se desacelerando para a direita; alcança velocidade zero e, em seguida, inverte o sentido e passa a mover-se para a esquerda (relativo ao assoalho).
  • Podemos calcular o instante em que para momentaneamente: impondo v_x(t)=0,
10-5t=0 \quad\Rightarrow\quad t=2\\ \mathrm{s}.
Nesse instante ele está a uma distância
\Delta x = v_{x0} t + \tfrac12 a_x t^2 = 10\cdot 2 + \tfrac12(-5)\cdot 2^2 = 20 - 10 = 10\\ \mathrm{m}
à frente de x_0. Depois disso o bloco volta para a esquerda.

Passo 7

Resposta da parte (b): instante em que o corpo retorna à posição inicial x(t)=x_0.
  • Resolver x(t)=x_0 usando a expressão encontrada:
x_0 + 10 t - 2{,}5 t^2 = x_0 \quad\Rightarrow\quad 10 t - 2{,}5 t^2 = 0.
Fatorando:
t(10 - 2{,}5 t)=0 \quad\Rightarrow\quad t=0 \\ \text{ou}\\\ 10-2{,}5t=0.
A solução não-trivial (além de t=0) é
10-2{,}5t=0 \quad\Rightarrow\quad t= \frac{10}{2{,}5}=4\\ \mathrm{s}.
Portanto o corpo retorna à posição inicial em t=4\\ \mathrm{s}.

Resposta

x(t)=x_{0}+10 t-2{,}5 t^{2} e v_{x}(t)=10-5 t\n 4\\ \mathrm{s}

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