Q16. Um balde gira num círculo vertical de raio
. Se a velocidade escalar no topo for
, (a) determinar a força exercida pelo balde sobre a água. (b) Calcule o valor mínimo de
para que a água permaneça no balde.
e
.
Passo 1
O enunciado diz: um balde gira num círculo vertical de raio
. No instante em que o balde está no topo do círculo, a velocidade escalar da água (relativa ao centro do movimento) é
. São pedidas duas coisas: (a) determinar a força exercida pelo balde sobre a água naquele instante; (b) calcular o valor mínimo de
para que a água permaneça no balde (isto é, não caia). Vou considerar que a massa da água é
e a aceleração da gravidade é
. Essas são as informações relevantes.
Passo 2
Vamos identificar as forças que atuam sobre a água quando ela está no topo do círculo. Descrevendo-as:
- o peso, que é a força da gravidade e tem módulo
; sua direção é para baixo (em direção ao centro do círculo, já que estamos no topo); - a força que o balde exerce sobre a água (força normal de contato), que chamarei de
. No topo, essa força também aponta verticalmente (pode apontar para baixo se o balde empurra a água para o centro, ou para cima se a água empurrar o balde; o sinal mostrará a direção).
Anote: todas as quantidades vetoriais verticais serão tratadas com sentido para baixo como positivo (escolha de convenção que facilita a conta — mas qualquer convenção funciona desde que usada consistentemente).
Passo 3
Explicação do conceito físico que precisamos usar: para que a água descreva um movimento circular com velocidade
e raio
, ela precisa de uma aceleração centrípeta dirigida para o centro do círculo cujo módulo é
Isto vem da geometria do movimento circular uniforme — é a aceleração necessária para manter a trajetória curva. Pela Segunda Lei de Newton, a soma das forças na direção radial (aqui vertical) deve ser igual a
vezes essa aceleração:
Vou aplicar isso no passo seguinte.
Passo 4
Escrevendo a soma das forças na direção para baixo (positiva): as forças que apontam para baixo são o peso
e, se
for no sentido para baixo, ela também entra como positiva. Assim
Esta é apenas a aplicação direta de
com as forças que listamos.
Passo 5
Isolamos
para obter a força que o balde exerce sobre a água:
Interpretação: se
o balde está empurrando a água para baixo (fornecendo parte da força centrípeta); se
a água está exatamente em contato livre mas sem pressão do balde (situação limite); se
isso significaria que, para o sinal escolhido, a força de contato deveria ser para cima — na prática o balde não pode “puxar” a água para cima com contato normal (a menos que haja adesão), então contato se perde antes disso.
Passo 6
Para que a água permaneça em contato com o balde no topo, é necessário que a força normal não fique negativa. A condição limite de perda de contato é
. Então impondo isso:
Cancelando
(assumindo
) e isolando
obtemos
e portanto, tomando a raiz quadrada (velocidade positiva)
Passo 7
Resumo físico e dica de prova: a expressão de
mostra que quanto maior
maior a pressão do balde sobre a água no topo. O valor mínimo
é obtido impondo
(situação crítica em que a água quase se solta). Na prova, desenhe sempre o diagrama de forças e use
com
; escolha uma convenção de sinais e seja consistente.