Q16. Um balde gira num círculo vertical de raio R. Se a velocidade escalar no topo for v_{t}, (a) determinar a força exercida pelo balde sobre a água. (b) Calcule o valor mínimo de v_{t} para que a água permaneça no balde. \mathbf{R}: m v^{2} / R- m g e \sqrt{R g}.

Passo 1

O enunciado diz: um balde gira num círculo vertical de raio \,R. No instante em que o balde está no topo do círculo, a velocidade escalar da água (relativa ao centro do movimento) é \,v_t. São pedidas duas coisas: (a) determinar a força exercida pelo balde sobre a água naquele instante; (b) calcular o valor mínimo de \,v_t para que a água permaneça no balde (isto é, não caia). Vou considerar que a massa da água é \,m e a aceleração da gravidade é \,g. Essas são as informações relevantes.

Passo 2

Vamos identificar as forças que atuam sobre a água quando ela está no topo do círculo. Descrevendo-as:
  • o peso, que é a força da gravidade e tem módulo \,m g; sua direção é para baixo (em direção ao centro do círculo, já que estamos no topo);
  • a força que o balde exerce sobre a água (força normal de contato), que chamarei de \,N. No topo, essa força também aponta verticalmente (pode apontar para baixo se o balde empurra a água para o centro, ou para cima se a água empurrar o balde; o sinal mostrará a direção).
    Anote: todas as quantidades vetoriais verticais serão tratadas com sentido para baixo como positivo (escolha de convenção que facilita a conta — mas qualquer convenção funciona desde que usada consistentemente).

Passo 3

Explicação do conceito físico que precisamos usar: para que a água descreva um movimento circular com velocidade \,v_t e raio \,R, ela precisa de uma aceleração centrípeta dirigida para o centro do círculo cujo módulo é
a_c = \frac{v_t^{2}}{R}.
Isto vem da geometria do movimento circular uniforme — é a aceleração necessária para manter a trajetória curva. Pela Segunda Lei de Newton, a soma das forças na direção radial (aqui vertical) deve ser igual a m vezes essa aceleração:
\sum F_{\text{radial}} = m a_c.
Vou aplicar isso no passo seguinte.

Passo 4

Escrevendo a soma das forças na direção para baixo (positiva): as forças que apontam para baixo são o peso \,m g e, se \,N for no sentido para baixo, ela também entra como positiva. Assim
m g + N = m \frac{v_t^{2}}{R}.
Esta é apenas a aplicação direta de \sum F = m a com as forças que listamos.

Passo 5

Isolamos \,N para obter a força que o balde exerce sobre a água:
N = m\frac{v_t^{2}}{R} - m g.
Interpretação: se \,N>0 o balde está empurrando a água para baixo (fornecendo parte da força centrípeta); se \,N=0 a água está exatamente em contato livre mas sem pressão do balde (situação limite); se \,N<0 isso significaria que, para o sinal escolhido, a força de contato deveria ser para cima — na prática o balde não pode “puxar” a água para cima com contato normal (a menos que haja adesão), então contato se perde antes disso.

Passo 6

Para que a água permaneça em contato com o balde no topo, é necessário que a força normal não fique negativa. A condição limite de perda de contato é \,N=0. Então impondo isso:
0 = m\frac{v_t^{2}}{R} - m g.
Cancelando \,m (assumindo \,m\neq 0) e isolando \,v_t obtemos
v_t^{2} = R g,
e portanto, tomando a raiz quadrada (velocidade positiva)
v_t = \sqrt{R g}.

Passo 7

Resumo físico e dica de prova: a expressão de \,N mostra que quanto maior \,v_t maior a pressão do balde sobre a água no topo. O valor mínimo \,v_t=\sqrt{R g} é obtido impondo \,N=0 (situação crítica em que a água quase se solta). Na prova, desenhe sempre o diagrama de forças e use \sum F = m a_c com a_c=v^2/R; escolha uma convenção de sinais e seja consistente.

Resposta

N = m\frac{v_t^{2}}{R} - m g\n v_t = \sqrt{R g}

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