Duas cargas puntiformes estão localizadas no espaço tridimensional conforme descrito a seguir:
  • Q_{1}=100 \mathrm{nC} está na posição P_{1}(0,00 \mathrm{~m}, 0,00 \mathrm{~m}, 0,00 \mathrm{~m});
  • Q_{2}=3,00 \mathrm{nC} está na posição P_{2}(4,00 \mathrm{~m}, 3,00 \mathrm{~m}, 0,00 \mathrm{~m}).
    (a) Determine a força eletrostática \vec{F}_{12} exercida pela carga Q_{1} sobre a carga Q_{2}, expressando o resultado em notação vetorial com unidades no Sistema Internacional (SI).
    (b) Determine o campo elétrico no ponto P_{2} resultante da presença da carga Q_{1}, ou seja, o campo \vec{E}_{12} gerado por Q_{1} no ponto onde está localizada a carga Q_{2}. Expresse o resultado em notação vetorial com unidades no Sistema Internacional (SI).

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais em coordenadas tridimensionais e pede:
(a) a força eletrostática \vec F_{12} que Q_{1} exerce sobre Q_{2};
(b) o campo elétrico \vec E_{12} gerado por Q_{1} no ponto onde está Q_{2}.
O conteúdo principal é a Lei de Coulomb em forma vetorial, que diz
\vec F_{12} = k\,\frac{Q_1\,Q_2}{\|\vec r\|^{3}}\;\vec r \quad\text{e}\quad \vec E_{12} = k\,\frac{Q_1}{\|\vec r\|^{3}}\;\vec r
onde k=1/(4\pi\varepsilon_0)\approx8{,}988\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} e \vec r=\vec P_{2}-\vec P_{1}.

Passo 2

Calculamos o vetor de posição relativo e seu módulo:
\vec r = P_{2}-P_{1} = (4,00,\,3,00,\,0,00)\,\mathrm{m}
\|\vec r\| = \sqrt{4,00^{2}+3,00^{2}+0,00^{2}} = 5,00\,\mathrm{m}

Passo 3

Aplicando a Lei de Coulomb para a força, com Q_{1}=100\times10^{-9}\,\mathrm{C} e Q_{2}=3,00\times10^{-9}\,\mathrm{C}:
\vec F_{12} = k\,\frac{Q_1\,Q_2}{\|\vec r\|^{3}}\;\vec r =8{,}988\times10^{9}\,\frac{(100\times10^{-9})(3{,}00\times10^{-9})}{(5{,}00)^{3}}\;(4{,}00,3{,}00,0)\.
Calculando o escalar:
k\,\frac{Q_1Q_2}{\|\vec r\|^{3}} =8{,}988\times10^{9}\times\frac{300\times10^{-18}}{125} \approx2{,}157\times10^{-8}\,\mathrm{N/m}\,,
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\vec F_{12} =(2{,}157\times10^{-8})(4{,}00,\,3{,}00,\,0) \approx(8{,}63\times10^{-8},\,6{,}47\times10^{-8},\,0)\,\mathrm{N}.

Passo 4

Para o campo elétrico \vec E_{12} basta dividir \vec F_{12} por Q_{2} (ou usar diretamente a forma com Q_{1}):
\vec E_{12} =\frac{\vec F_{12}}{Q_{2}} =\frac{(8{,}63\times10^{-8},\,6{,}47\times10^{-8},\,0)}{3{,}00\times10^{-9}} \approx(28{,}8,\,21{,}6,\,0)\,\mathrm{N/C}.

Resposta

\displaystyle \vec F_{12}=(8,63\times10^{-8},\;6,47\times10^{-8},\;0)\;\mathrm{N}
\displaystyle \vec E_{12}=(28,8,\;21,6,\;0)\;\mathrm{N/C}

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