Expresse o seguinte campo vetorial, em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Tanto em sistemas de coordenadas cilíndricas quanto esféricas, determine
em (
).
Valor: 2,5 pontos
Valor: 2,5 pontos
Passo 1
O enunciado pede para escrever o campo
nos sistemas de coordenadas cilíndricas
e esféricas
, e em cada caso calcular
no ponto dado em coordenadas cartesianas
.
Para isso vamos precisar das relações de mudança de variáveis e das expressões das versores:
Para isso vamos precisar das relações de mudança de variáveis e das expressões das versores:
- Cilíndricas:
,
- Esféricas:
,
Passo 2
Expressão em coordenadas cilíndricas.
Substituindo
Substituindo
temos os componentes em base cartesiana
Agora escrevemos
Fazendo as somas trigonométricas e usando
, obtemos
Passo 3
Avaliação em
.
Em coordenadas cilíndricas
Em coordenadas cilíndricas
Para não depender de aproximações de
, basta decompor diretamente
em
. Fazendo
Logo
Passo 4
Expressão em coordenadas esféricas.
Substituímos
Substituímos
e obtemos em base cartesiana
Projetamos em
via produto escalar com as relações do passo 1. O resultado simplificado é
onde os coeficientes trigonométricos podem ser reorganizados, mas mantêm a mesma estrutura em
.
Passo 5
Avaliação em
.
Em esféricas
Em esféricas
Usando diretamente
e as versores esféricas:
faz-se
Portanto
Resposta
Em cilíndricas (genérico):
Em esféricas (genérico):