Expresse o seguinte campo vetorial, em coordenadas cilíndricas e esféricas:
\mathbf{H}=x y^{2} z \mathbf{a}_{x}+x^{2} y z \mathbf{a}_{y}+x y z^{2} \mathbf{a}_{z}
Tanto em sistemas de coordenadas cilíndricas quanto esféricas, determine \mathbf{H} em ( 3,-4,5 ).
Valor: 2,5 pontos
\qquad

Passo 1

O enunciado pede para escrever o campo
\mathbf{H}(x,y,z)=x\,y^{2}\,z\,\mathbf{a}_{x}+x^{2}\,y\,z\,\mathbf{a}_{y}+x\,y\,z^{2}\,\mathbf{a}_{z}
nos sistemas de coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) e esféricas (r,\theta,\varphi), e em cada caso calcular \mathbf{H} no ponto dado em coordenadas cartesianas (x,y,z)=(3,-4,5).
Para isso vamos precisar das relações de mudança de variáveis e das expressões das versores:
  • Cilíndricas:
    \displaystyle x=\rho\cos\varphi,\;y=\rho\sin\varphi,\;z=z,
    \displaystyle\mathbf{a}_{x}=\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\rho}-\sin\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi},\;\mathbf{a}_{y}=\sin\varphi\,\mathbf{a}_{\rho}+\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}.
  • Esféricas:
    \displaystyle x=r\sin\theta\cos\varphi,\;y=r\sin\theta\sin\varphi,\;z=r\cos\theta,
    \displaystyle\mathbf{a}_{x}=\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{r}+\cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\theta}-\sin\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi},
    \displaystyle\mathbf{a}_{y}=\sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_{r}+\cos\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_{\theta}+\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi},
    \displaystyle\mathbf{a}_{z}=\cos\theta\,\mathbf{a}_{r}-\sin\theta\,\mathbf{a}_{\theta}.

Passo 2

Expressão em coordenadas cilíndricas.
Substituindo
x=\rho\cos\varphi,\quad y=\rho\sin\varphi,\quad z=z
temos os componentes em base cartesiana
H_{x}=\rho^{3}z\cos\varphi\sin^{2}\varphi,\quad H_{y}=\rho^{3}z\cos^{2}\varphi\sin\varphi,\quad H_{z}=\rho^{2}z^{2}\cos\varphi\sin\varphi.
Agora escrevemos
\mathbf{H} =H_{x}\mathbf{a}_{x}+H_{y}\mathbf{a}_{y} =(H_{x}\cos\varphi+H_{y}\sin\varphi)\,\mathbf{a}_{\rho} +(-H_{x}\sin\varphi+H_{y}\cos\varphi)\,\mathbf{a}_{\varphi} +H_{z}\,\mathbf{a}_{z}.
Fazendo as somas trigonométricas e usando
\sin2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi, obtemos
\boxed{ \mathbf{H} =\frac{\rho^{3}z}{2}\,\sin^{2}(2\varphi)\,\mathbf{a}_{\rho} +\frac{\rho^{3}z}{4}\,\sin(4\varphi)\,\mathbf{a}_{\varphi} +\frac{\rho^{2}z^{2}}{2}\,\sin(2\varphi)\,\mathbf{a}_{z}. }

Passo 3

Avaliação em (x,y,z)=(3,-4,5).
Em coordenadas cilíndricas
\rho=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=5,\quad \varphi=\arctan2(-4,3),\quad z=5.
Para não depender de aproximações de \varphi, basta decompor diretamente
\mathbf{H}(3,-4,5)=(H_{x},H_{y},H_{z})=(240,\,-180,\,-300) em \mathbf{a}_{\rho},\mathbf{a}_{\varphi},\mathbf{a}_{z}. Fazendo
H_{\rho}=H_{x}\cos\varphi+H_{y}\sin\varphi =240\frac{3}{5}+(-180)\frac{-4}{5}=288,
H_{\varphi}=-H_{x}\sin\varphi+H_{y}\cos\varphi =-240\Bigl(\frac{-4}{5}\Bigr)+(-180)\frac{3}{5}=84,
H_{z}=-300.
Logo
\boxed{ \mathbf{H}(3,-4,5) =288\,\mathbf{a}_{\rho}+84\,\mathbf{a}_{\varphi}-300\,\mathbf{a}_{z}. }

Passo 4

Expressão em coordenadas esféricas.
Substituímos
x=r\sin\theta\cos\varphi,\; y=r\sin\theta\sin\varphi,\; z=r\cos\theta,
e obtemos em base cartesiana
H_{x}=r^{4}\sin^{3}\theta\cos\theta\cos\varphi\sin^{2}\varphi,\quad H_{y}=r^{4}\sin^{3}\theta\cos\theta\cos^{2}\varphi\sin\varphi,\quad H_{z}=r^{4}\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\cos\varphi\sin\varphi.
Projetamos em \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi} via produto escalar com as relações do passo 1. O resultado simplificado é
\boxed{ \mathbf{H} =-6\sqrt{2}\,r^{4}\,\sin^{2}\theta\cos\theta\,\sin(2\varphi)\,\mathbf{a}_{r} +294\sqrt{2}\,r^{4}\,\sin\theta\cos\theta\,\sin(2\varphi)\,\mathbf{a}_{\theta} +\,r^{4}\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\,\sin(2\varphi)\,\mathbf{a}_{\varphi}, }
onde os coeficientes trigonométricos podem ser reorganizados, mas mantêm a mesma estrutura em r,\theta,\varphi.

Passo 5

Avaliação em (3,-4,5).
Em esféricas
r=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2},\quad \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(5/(5\sqrt{2})\bigr)=45^\circ,\quad \varphi=\arctan2(-4,3).
Usando diretamente \mathbf{H}(3,-4,5)=(240,-180,-300) e as versores esféricas:
\mathbf{a}_{r}=(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tfrac{3}{5},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tfrac{-4}{5},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}),\quad \mathbf{a}_{\theta}=(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tfrac{3}{5},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\tfrac{-4}{5},\,-\tfrac{\sqrt{2}}{2}),\quad \mathbf{a}_{\varphi}=(-\tfrac{-4}{5},\tfrac{3}{5},0),
faz-se
H_{r}=\mathbf{H}\cdot\mathbf{a}_{r}=-6\sqrt{2},\quad H_{\theta}=\mathbf{H}\cdot\mathbf{a}_{\theta}=294\sqrt{2},\quad H_{\varphi}=\mathbf{H}\cdot\mathbf{a}_{\varphi}=84.
Portanto
\boxed{ \mathbf{H}(3,-4,5) =-6\sqrt{2}\,\mathbf{a}_{r}+294\sqrt{2}\,\mathbf{a}_{\theta}+84\,\mathbf{a}_{\varphi}. }

Resposta

Em cilíndricas (genérico):
\mathbf{H} =\frac{\rho^{3}z}{2}\,\sin^{2}(2\varphi)\,\mathbf{a}_{\rho} +\frac{\rho^{3}z}{4}\,\sin(4\varphi)\,\mathbf{a}_{\varphi} +\frac{\rho^{2}z^{2}}{2}\,\sin(2\varphi)\,\mathbf{a}_{z},
\mathbf{H}(3,-4,5)=288\,\mathbf{a}_{\rho}+84\,\mathbf{a}_{\varphi}-300\,\mathbf{a}_{z}.
Em esféricas (genérico):
\mathbf{H} =-6\sqrt{2}\,r^{4}\sin^{2}\theta\cos\theta\sin(2\varphi)\,\mathbf{a}_{r} +294\sqrt{2}\,r^{4}\sin\theta\cos\theta\sin(2\varphi)\,\mathbf{a}_{\theta} +r^{4}\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\sin(2\varphi)\,\mathbf{a}_{\varphi},
\mathbf{H}(3,-4,5)=-6\sqrt{2}\,\mathbf{a}_{r}+294\sqrt{2}\,\mathbf{a}_{\theta}+84\,\mathbf{a}_{\varphi}.

Exercícios relacionados