Duas cargas
, iguais e positivas, são posicionadas sobre o eixo
, uma em
e a outra em
. (a) Mostre que o campo elétrico no eixo
é orientado ao longo desse eixo e possui uma intensidade
. (b) Mostre que nas vizinhanças da origem, quando
é muito menor do que
é aproximadamente igual a
. (c) Mostre que para valores de
muito maiores do que
é aproximadamente igual a
. Explique por que esse resultado seria esperado antes mesmo de ser calculado.
-
Electronic mail: marciocorrea@dfte.ufrn.br
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Passo 1
O enunciado dá duas cargas pontuais iguais e positivas, cada uma de carga
, posicionadas sobre o eixo
: uma em
e outra em
. Pede-se três coisas:
- (a) mostrar que o campo elétrico no eixo
é orientado ao longo desse eixo e que sua intensidade é ; - (b) mostrar que para
(vizinhança da origem) vale aproximadamente ; - (c) mostrar que para
vale aproximadamente e explicar por que esse resultado é esperado antes do cálculo.
Informações relevantes dadas:
- cargas pontuais: ambas iguais a
; - posições:
e no plano (isto é, sobre o eixo ); - ponto onde queremos o campo: qualquer ponto do eixo
, isto é ; - constante
é a constante eletrostática de Coulomb (no SI ).
Passo 2
Relembrando a lei de Coulomb para campo elétrico de uma carga pontual: a contribuição de uma carga
localizada em
no ponto
é
Aqui
é o vetor que vai da carga até o ponto onde se calcula o campo, e
é a distância entre eles. Vou aplicar essa fórmula para cada carga, no ponto
.
Passo 3
Definir vetores e distâncias. Para a carga em
(chamo de carga 1):
- vetor do ponto da carga 1 até o ponto
:
- distância do ponto ao campo:
Para a carga em
(carga 2):
Note que as distâncias são iguais:
.
Passo 4
Calcular as contribuições vetoriais das duas cargas usando a lei de Coulomb. Para a carga 1:
Para a carga 2:
Somando vetorialmente:
As componentes
somam
, portanto as componentes na direção
se cancelam por simetria. As componentes
somam
. Assim
Isto mostra que o campo no eixo
é orientado ao longo desse eixo (sentido
se
, contrário se
) e que a componente
tem a forma pedida.
Passo 5
Escrever explicitamente a componente
. Denotando por
a componente ao longo de
,
Isso completa a demonstração do item (a). Observação física: como as cargas são positivas, o campo aponta para fora de cada carga; no eixo
as componentes verticais cancelam e sobram as horizontais que se somam.
Passo 6
Tratar o item (b): aproximação para
. Começamos da expressão exata
Fatoramos
dentro do parêntese para facilitar a expansão:
Para
temos
e podemos usar a expansão de binômio (ou Taylor) para
com
e
:
Assim
Invertendo (usando
) obtemos
Multiplicando por
:
Mantendo apenas o termo dominante em
(o primeiro termo da série), para
temos a boa aproximação
Isto responde (b): o campo é aproximadamente linear em
perto da origem (comportamento tipo mola).
Passo 7
Tratar o item (c): aproximação para
. Começamos novamente da expressão exata e agora escrevemos
Para
temos
. Fazer a expansão igual:
Logo
Multiplicando por
obtemos
Mantendo apenas o termo principal para
,
Passo 8
Explicação física, como pedido no enunciado do item (c). Para distâncias muito maiores que a separação das cargas, o sistema de duas cargas próximas de mesma sinal se comporta, visto de longe, como uma única carga pontual cuja carga total é a soma das cargas individuais. Aqui a soma é
. O campo elétrico de uma carga pontual
à distância
é
. Portanto, esperando fisicamente que o campo à distância grande seja
já dava a forma
antes de qualquer cálculo detalhado. A expansão matemática confirma essa expectativa e dá os termos de correção.
Resposta
(a)
, logo
.\n
(b) para
.\n
(c) para
.
(b)
(c)