Duas cargas q, iguais e positivas, são posicionadas sobre o eixo y, uma em y=+a e a outra em y=-a. (a) Mostre que o campo elétrico no eixo x
é orientado ao longo desse eixo e possui uma intensidade E_{x}=2 k q x\left(x^{2}+a^{2}\right)^{-3 / 2}. (b) Mostre que nas vizinhanças da origem, quando x é muito menor do que a, E_{x} é aproximadamente igual a 2 k q x / a^{3}. (c) Mostre que para valores de x muito maiores do que a, E_{x} é aproximadamente igual a 2 k q / x^{2}. Explique por que esse resultado seria esperado antes mesmo de ser calculado.

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Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais iguais e positivas, cada uma de carga q, posicionadas sobre o eixo y: uma em y=+a e outra em y=-a. Pede-se três coisas:
  • (a) mostrar que o campo elétrico no eixo x é orientado ao longo desse eixo e que sua intensidade é \displaystyle E_{x}=2kq x\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{-3/2};
  • (b) mostrar que para x\ll a (vizinhança da origem) vale aproximadamente \displaystyle E_{x}\approx\frac{2kq}{a^{3}}\,x;
  • (c) mostrar que para x\gg a vale aproximadamente \displaystyle E_{x}\approx\frac{2kq}{x^{2}} e explicar por que esse resultado é esperado antes do cálculo.
Informações relevantes dadas:
  • cargas pontuais: ambas iguais a q>0;
  • posições: (0,+a) e (0,-a) no plano xy (isto é, sobre o eixo y);
  • ponto onde queremos o campo: qualquer ponto do eixo x, isto é (x,0);
  • constante k é a constante eletrostática de Coulomb (no SI k=1/(4\pi\varepsilon_0)).

Passo 2

Relembrando a lei de Coulomb para campo elétrico de uma carga pontual: a contribuição de uma carga q localizada em \mathbf{r}' no ponto \mathbf{r} é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=k\,q\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\lVert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert^{3}}.
Aqui \mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que vai da carga até o ponto onde se calcula o campo, e \lVert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert é a distância entre eles. Vou aplicar essa fórmula para cada carga, no ponto (x,0).

Passo 3

Definir vetores e distâncias. Para a carga em (0,+a) (chamo de carga 1):
  • vetor do ponto da carga 1 até o ponto (x,0):
\mathbf{r}_1=\langle x,\,0\rangle-\langle 0,\,a\rangle=\langle x,\,-a\rangle.
  • distância do ponto ao campo:
r_1=\lVert\mathbf{r}_1\rVert=\sqrt{x^{2}+a^{2}}.
Para a carga em (0,-a) (carga 2):
\mathbf{r}_2=\langle x,\,0\rangle-\langle 0,\,-a\rangle=\langle x,\,a\rangle, \qquad r_2=\sqrt{x^{2}+a^{2}}.
Note que as distâncias são iguais: r_1=r_2=\sqrt{x^{2}+a^{2}}.

Passo 4

Calcular as contribuições vetoriais das duas cargas usando a lei de Coulomb. Para a carga 1:
\mathbf{E}_1=kq\frac{\mathbf{r}_1}{r_1^{3}}=kq\frac{\langle x,\,-a\rangle}{\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}.
Para a carga 2:
\mathbf{E}_2=kq\frac{\mathbf{r}_2}{r_2^{3}}=kq\frac{\langle x,\,a\rangle}{\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}.
Somando vetorialmente:
\mathbf{E}=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2 = kq\frac{\langle x,\,-a\rangle+\langle x,\,a\rangle}{\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}.
As componentes y somam -a+a=0, portanto as componentes na direção y se cancelam por simetria. As componentes x somam x+x=2x. Assim
\mathbf{E}=kq\frac{\langle 2x,\,0\rangle}{\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}} =\left(2kq\,\frac{x}{\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}\right)\hat{\mathbf{x}}.
Isto mostra que o campo no eixo x é orientado ao longo desse eixo (sentido \hat{\mathbf{x}} se x>0, contrário se x<0) e que a componente x tem a forma pedida.

Passo 5

Escrever explicitamente a componente x. Denotando por E_{x} a componente ao longo de x,
E_{x}=2kq\,\frac{x}{\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}.
Isso completa a demonstração do item (a). Observação física: como as cargas são positivas, o campo aponta para fora de cada carga; no eixo x as componentes verticais cancelam e sobram as horizontais que se somam.

Passo 6

Tratar o item (b): aproximação para x\ll a. Começamos da expressão exata
E_{x}=2kq\,\frac{x}{\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}.
Fatoramos a^{2} dentro do parêntese para facilitar a expansão:
\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}=a^{3}\left(1+\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)^{3/2}.
Para x\ll a temos \dfrac{x^{2}}{a^{2}}\ll1 e podemos usar a expansão de binômio (ou Taylor) para (1+u)^{\alpha} com u=\dfrac{x^{2}}{a^{2}} e \alpha=\tfrac{3}{2}:
\left(1+u\right)^{3/2}=1+\frac{3}{2}u+\mathcal{O}(u^{2}).
Assim
\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}=a^{3}\left(1+\frac{3}{2}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\cdots\right).
Invertendo (usando (1+v)^{-1}=1-v+\cdots) obtemos
\frac{1}{\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{1}{a^{3}}\left(1-\frac{3}{2}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\cdots\right).
Multiplicando por 2kq\,x:
E_{x}=2kq\,\frac{x}{a^{3}}\left(1-\frac{3}{2}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\cdots\right).
Mantendo apenas o termo dominante em x (o primeiro termo da série), para x\ll a temos a boa aproximação
E_{x}\approx\frac{2kq}{a^{3}}\,x.
Isto responde (b): o campo é aproximadamente linear em x perto da origem (comportamento tipo mola).

Passo 7

Tratar o item (c): aproximação para x\gg a. Começamos novamente da expressão exata e agora escrevemos
\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}=x^{3}\left(1+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)^{3/2}.
Para x\gg a temos a^{2}/x^{2}\ll1. Fazer a expansão igual:
\left(1+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)^{3/2}=1+\frac{3}{2}\frac{a^{2}}{x^{2}}+\mathcal{O}\!\left(\frac{a^{4}}{x^{4}}\right).
Logo
\frac{1}{\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{1}{x^{3}}\left(1-\frac{3}{2}\frac{a^{2}}{x^{2}}+\cdots\right).
Multiplicando por 2kq\,x obtemos
E_{x}=2kq\,\frac{x}{x^{3}}\left(1-\frac{3}{2}\frac{a^{2}}{x^{2}}+\cdots\right) =2kq\,\frac{1}{x^{2}}\left(1-\frac{3}{2}\frac{a^{2}}{x^{2}}+\cdots\right).
Mantendo apenas o termo principal para x\gg a,
E_{x}\approx\frac{2kq}{x^{2}}.

Passo 8

Explicação física, como pedido no enunciado do item (c). Para distâncias muito maiores que a separação das cargas, o sistema de duas cargas próximas de mesma sinal se comporta, visto de longe, como uma única carga pontual cuja carga total é a soma das cargas individuais. Aqui a soma é q+q=2q. O campo elétrico de uma carga pontual Q à distância x é \displaystyle kQ/x^{2}. Portanto, esperando fisicamente que o campo à distância grande seja \displaystyle k(2q)/x^{2} já dava a forma \displaystyle 2kq/x^{2} antes de qualquer cálculo detalhado. A expansão matemática confirma essa expectativa e dá os termos de correção.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(x,0)=\left(2kq\,\frac{x}{\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}\right)\hat{\mathbf{x}}, logo E_{x}=2kq\,x\bigl(x^{2}+a^{2}\bigr)^{-3/2}.\n
(b) \displaystyle E_{x}\approx\frac{2kq}{a^{3}}\,x para x\ll a.\n
(c) \displaystyle E_{x}\approx\frac{2kq}{x^{2}} para x\gg a.

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