Uma carga de 5 \mu C é posicionado sobre o eixo y em y=3 \mathrm{~cm} e uma segunda carga de -5 \mu C é posicionada também sobre o eixo y em y=-3 cm . Determine a força sobre uma carga de 2 \mu C localizada sobre o eixo x em x=8 c m.

Passo 1

O enunciado dá três cargas localizadas nos eixos coordenados e pede a força resultante sobre a carga localizada em x=8\\ \mathrm{cm}. Informações fornecidas:
  • Carga 1: q_1 = +5\\ \mu\mathrm{C} posicionada em (0,\,3\\ \mathrm{cm}).
  • Carga 2: q_2 = -5\\ \mu\mathrm{C} posicionada em (0,\,-3\\ \mathrm{cm}).
  • Carga teste: q_3 = +2\\ \mu\mathrm{C} posicionada em (8\\ \mathrm{cm},\,0).
    O que se pede: determinar a força elétrica total sobre q_3 devido a q_1 e q_2.

Passo 2

Converter tudo para unidades do SI (obrigatório para usar a constante eletrostática).
  • q_1 = 5\\ \mu\mathrm{C} = 5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • q_2 = -5\\ \mu\mathrm{C} = -5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • q_3 = 2\\ \mu\mathrm{C} = 2\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • 3\\ \mathrm{cm} = 0,03\\ \mathrm{m}.
  • 8\\ \mathrm{cm} = 0,08\\ \mathrm{m}.
Agora as posições em metros:
  • q_1 em (0,\,0{,}03).
  • q_2 em (0,\,-0{,}03).
  • q_3 em (0{,}08,\,0).

Passo 3

Apresentar a lei que usamos (Coulomb, em forma vetorial) e explicar cada símbolo:
\vec F = k\,\frac{q_{\text{fonte}}\,q_{\text{teste}}}{r^{2}}\,\hat r,
onde
  • k é a constante eletrostática k=8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}},
  • q_{\text{fonte}} é a carga que produz o campo (aqui q_1 ou q_2),
  • q_{\text{teste}} é a carga sobre a qual calculamos a força (aqui q_3),
  • r é a distância entre as duas cargas,
  • \hat r é o versor (vetor unitário) que aponta da carga fonte para a carga teste.
    Comentário didático: o produto q_{\text{fonte}}q_{\text{teste}} dá o sinal da força (positivo → repulsão na direção de \hat r; negativo → atração, que fica na direção oposta a \hat r).

Passo 4

Calcular os vetores posição relativos (do fonte para a teste) e as distâncias.
  • Vetor de q_1 para q_3:
\vec r_{13} = \vec r_3 - \vec r_1 = (0{,}08,\;0) - (0,\;0{,}03) = (0{,}08,\;-0{,}03)\\ \mathrm{m}.
  • Vetor de q_2 para q_3:
\vec r_{23} = \vec r_3 - \vec r_2 = (0{,}08,\;0) - (0,\;-0{,}03) = (0{,}08,\;0{,}03)\\ \mathrm{m}.
Distâncias (mesma para as duas, por simetria):
r = \|\vec r_{13}\| = \|\vec r_{23}\| = \sqrt{(0{,}08)^{2}+(0{,}03)^{2}}=\sqrt{0{,}0064+0{,}0009}=\sqrt{0{,}0073}=0{,}085440\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a magnitude da força entre qualquer fonte q_i e q_3 usando Coulomb (as magnitudes serão iguais porque |q_1|=|q_2| e distâncias iguais):
F = k\,\frac{|q_i|\,|q_3|}{r^{2}}.
Substituindo os valores:
F = 8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{(5\times10^{-6})(2\times10^{-6})}{(0{,}085440)^{2}}.
Calcule passo a passo:
(5\times10^{-6})(2\times10^{-6})=1\times10^{-11}\\ \mathrm{C^{2}},
r^{2}=0{,}0073\\ \mathrm{m^{2}},
k\cdot 1\times10^{-11}=8{,}988\times10^{9}\times10^{-11}=8{,}988\times10^{-2}=0{,}08988\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/m^{2}}.
Portanto
F=\frac{0{,}08988}{0{,}0073}=12{,}315068\dots\\ \mathrm{N}\approx 12{,}32\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Encontrar os versores (componentes) de \hat r_{13} e \hat r_{23}.
  • Para \vec r_{13}=(0{,}08,\,-0{,}03):
\hat r_{13} = \frac{\vec r_{13}}{r}=\Big(\frac{0{,}08}{0{,}085440},\;\frac{-0{,}03}{0{,}085440}\Big)\approx(0{,}93633,\;-0{,}35112).
  • Para \vec r_{23}=(0{,}08,\;0{,}03):
\hat r_{23}=\frac{\vec r_{23}}{r}\approx(0{,}93633,\;0{,}35112).
Explicação didática: esses números são apenas as proporções entre as componentes do vetor e a distância — servem para decompor a força nas direções x e y.

Passo 7

Calcular as componentes das forças vetoriais (força de q_1 sobre q_3 e de q_2 sobre q_3).
Força de q_1 sobre q_3: como q_1q_3>0 é repulsiva, a direção é \hat r_{13}:
\vec F_{1} = F\,\hat r_{13}\approx 12{,}315068\,(0{,}93633,\,-0{,}35112)\\ \mathrm{N}.
Componentes:
F_{1x}\approx 12{,}315068\cdot0{,}93633 \approx 11{,}5339\\ \mathrm{N},
F_{1y}\approx 12{,}315068\cdot(-0{,}35112) \approx -4{,}3252\\ \mathrm{N}.
Força de q_2 sobre q_3: como q_2q_3<0 é atrativa, o resultado aponta em direção ao q_2, isto é, o sinal fica oposto ao de \hat r_{23}. Podemos escrever:
\vec F_{2} = F\cdot\mathrm{sign}(q_2q_3)\,\hat r_{23} = -F\,\hat r_{23}.
Assim
\vec F_{2}\approx -12{,}315068\,(0{,}93633,\;0{,}35112)\\ \mathrm{N},
componentes:
F_{2x}\approx -11{,}5339\\ \mathrm{N},
F_{2y}\approx -4{,}3252\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Somar vetorialmente \vec F_1 e \vec F_2 para obter a força total sobre q_3.
  • Componente x:
F_x = F_{1x}+F_{2x}\approx 11{,}5339 + (-11{,}5339)=0\\ \mathrm{N}.
  • Componente y:
F_y = F_{1y}+F_{2y}\approx -4{,}3252 + (-4{,}3252) = -8{,}6504\\ \mathrm{N}.
Portanto o vetor força total é
\vec F \approx (0,\,-8{,}6504)\\ \mathrm{N}.

Passo 9

Interpretação física e verificação rápida por simetria: as duas cargas fontes têm o mesmo valor absoluto e posições simétricas em relação ao eixo x. As componentes x das forças que cada uma exerce sobre q_3 se cancelam (repulsão para a carga positiva em cima empurra para a direita; atração pela carga negativa em baixo puxa também para a esquerda? — o resultado das componentes x é zero por simetria). As componentes y das duas forças somam-se no sentido negativo do eixo y, resultando numa força para baixo, de módulo 8{,}65\\ \mathrm{N}.

Resposta

\vec F = 0\,\hat{\imath} - 8{,}65\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{N}

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