Em frasco contendo { }^{177} \mathrm{Lu} tem-se a identificação: 50 \mathrm{kBq} / \mathrm{ml} às 10:00 h. (a)Com base na sua tabela encontre o volume que deve ser retirado às 12:00 h para preparar uma injeção de 1,1 \mathrm{GBq} para um paciente? (b) Quanto vale essa atividade em mCi?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar clareza para não nos perdermos):
  • Atividade específica do frasco às 10:00 h: 50\\ \text{kBq}/\text{ml}.
  • Horário da retirada: 12:00 h (ou seja, 2 horas depois).
  • Atividade desejada para a injeção: 1{,}1\\ \text{GBq}.
    As perguntas são:
    (a) qual volume deve ser retirado às 12:00 h para obter 1{,}1\\ \text{GBq};
    (b) quanto vale essa atividade em mCi?
Observação importante sobre dados ausentes: o enunciado menciona “sua tabela” (presumivelmente contendo a meia-vida). A tabela não foi enviada. Vou usar o valor de meia-vida usualmente tabelado para {}^{177}\mathrm{Lu}, que é
T_{1/2}=6{,}647\\ \text{dias}=159{,}528\\ \text{h},
valor padrão encontrado em tabelas de radionuclídeos. Se a sua tabela tiver outro valor, os números finais mudam um pouco; avise se for o caso.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Decaimento radioativo obedece à lei exponencial:
A(t)=A_0\,e^{-\lambda t},
onde:
  • A(t) é a atividade no tempo t,
  • A_0 é a atividade no tempo inicial (aqui a atividade específica por ml às 10:00),
  • \lambda é a constante de decaimento,
  • t é o intervalo de tempo entre as duas medidas (em unidades consistentes com \lambda).
  • A constante \lambda relaciona-se com a meia-vida assim:
\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
Vou usar horas como unidade de tempo porque o intervalo de interesse é de 2 horas.

Passo 3

Calcular \lambda em \text{h}^{-1}.
T_{1/2}=6{,}647\\ \text{dias}\times 24\\ \frac{\text{h}}{\text{dia}}=159{,}528\\ \text{h}.
\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0{,}693147}{159{,}528\\ \text{h}} \approx 0{,}0043459\\ \text{h}^{-1}.

Passo 4

Calcular a atividade específica por ml às 12:00 h (após t=2 h).
Usamos A_{12}=A_{10}\,e^{-\lambda t} com A_{10}=50\\ \text{kBq}/\text{ml} e t=2\\ \text{h}.
A_{12}=50\\ \text{kBq}/\text{ml}\times e^{-0{,}0043459\times 2}.
Calcule o expoente:
-\,\lambda t=-0{,}0043459\times 2=-0{,}0086918.
Agora a exponencial:
e^{-0{,}0086918}\approx 0{,}99134.
Portanto
A_{12}\approx 50\times 0{,}99134 \\ \text{kBq}/\text{ml}\approx 49{,}567\\ \text{kBq}/\text{ml}.
(Interpretação: em 2 horas a atividade por ml praticamente não caiu — caiu só cerca de 0{,}866\% — por isso o fator está perto de 1.)

Passo 5

Calcular o volume necessário às 12:00 h para obter 1{,}1\\ \text{GBq}.
Primeiro colocar a atividade requerida na mesma unidade da atividade específica (kBq):
1{,}1\\ \text{GBq}=1{,}1\times 10^{9}\\ \text{Bq}=1{,}1\times 10^{6}\\ \text{kBq}.
Se cada ml contém 49{,}567\\ \text{kBq}, o volume V em ml é
V=\frac{1{,}1\times 10^{6}\\ \text{kBq}}{49{,}567\\ \text{kBq}/\text{ml}}.
Fazendo a divisão:
V\approx 22\,209{,}6\\ \text{ml}.
Convertendo para litros:
V\approx 22{,}21\\ \text{L}.
Comentário prático (didático): esse volume é enorme e pouco realista para uma preparação clínica — isso indica que a concentração inicial de 50\\ \text{kBq}/\text{ml} é muito baixa para preparar uma dose de 1{,}1\\ \text{GBq} sem concentração adicional. Mas o cálculo acima segue rigorosamente os dados fornecidos.

Passo 6

Converter 1{,}1\\ \text{GBq} para mCi (aula de unidades).
Relação: 1\\ \text{Ci}=3{,}7\times 10^{10}\\ \text{Bq}. Logo 1\\ \text{mCi}=3{,}7\times 10^{7}\\ \text{Bq}.
1{,}1\\ \text{GBq}=1{,}1\times 10^{9}\\ \text{Bq}.
\text{Atividade (mCi)}=\frac{1{,}1\times 10^{9}\\ \text{Bq}}{3{,}7\times 10^{7}\\ \text{Bq}/\text{mCi}} =\frac{1{,}1}{3{,}7}\times 10^{2}\\ \text{mCi}.
Fazendo a conta:
\text{Atividade}\approx 29{,}73\\ \text{mCi}.

Resposta

V\approx 22\,210\\ \text{ml}\approx 22{,}21\\ \text{L}
1{,}1\\ \text{GBq}\approx 29{,}73\\ \text{mCi}

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