Duas cargas são colocadas a uma distância l uma da outra e são deixadas livres. Após um tempo t_{0} a distância entre as cargas duplicou. Estas mesmas cargas são colocadas a uma distância 2 l e são deixadas livres. Determine o tempo para o qual a distância entre as cargas duplicou.
Considere as cargas idênticas.
a) 2 t_{0}
b) \sqrt{2} t_{0}
c) 2 \sqrt{2} t_{0}
d) \sqrt{3} t_{0}
e) 4 \sqrt{2} t_{0}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (assumi algumas coisas naturais que não foram explicitadas mas são necessárias):
  • Duas partículas idênticas, cada uma com carga q e massa m, estão inicialmente a uma distância l entre si e são liberadas do repouso.
  • Após um tempo t_{0} a distância entre as cargas ficou 2l.
  • Em outro experimento, as mesmas partículas são colocadas a uma distância inicial 2l (e também liberadas do repouso). Pergunta: qual é o tempo necessário para que, nesta segunda situação, a distância entre as cargas se torne 4l (isto é, dobre a separação inicial desta segunda experiência)?
  • Pedido final: expressar esse tempo em função de t_{0}.
Observações claras sobre o que foi dado: inicializações do repouso, cargas iguais q e massas iguais m, e queremos o tempo para que a separação duplique em cada caso.

Passo 2

Como as partículas são idênticas e liberadas do repouso, o movimento é simétrico em relação ao centro de massa. Para tratar o problema de forma simples usaremos a coordenada relativa r(t), que é a distância entre as partículas. Para duas massas iguais m a massa reduzida associada à coordenada relativa é
\mu=\frac{m}{2}.
A força de repulsão entre as cargas tem módulo dado pela lei de Coulomb
F(r)=\frac{k q^{2}}{r^{2}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}. Em termos da coordenada relativa, a equação do movimento é
\mu\ddot r = \frac{k q^{2}}{r^{2}}.
Em vez de resolver diretamente essa equação diferencial, é mais simples usar conservação de energia (explico já por quê).

Passo 3

A razão para usar energia: as partículas são liberadas do repouso, a força é central e conservativa; portanto a energia mecânica total se conserva. A energia potencial eletrostática entre duas cargas iguais é
U(r)=\frac{k q^{2}}{r}.
Como inicialmente r=r_{0} (no primeiro experimento r_{0}=l) e a velocidade relativa inicial é zero, a conservação de energia entre r_{0} e um r>r_{0}
\frac{1}{2}\mu \dot r^{2}+U(r)=U(r_{0}).
Isolando \dot r obtemos
\frac{1}{2}\mu \dot r^{2} = k q^{2}\!\left(\frac{1}{r_{0}}-\frac{1}{r}\right),
ou
\dot r=\sqrt{\frac{2kq^{2}}{\mu}\left(\frac{1}{r_{0}}-\frac{1}{r}\right)}.
Aqui \dot r é a velocidade com que a separação aumenta.

Passo 4

O tempo necessário para a separação ir de r_{0} a algum r é
t=\int_{r_{0}}^{r}\frac{dr}{\dot r} =\int_{r_{0}}^{r}\frac{dr}{\sqrt{\dfrac{2kq^{2}}{\mu}\left(\dfrac{1}{r_{0}}-\dfrac{1}{r}\right)}}.
No nosso caso queremos o tempo para ir de r_{0} até 2r_{0}. Chamando esse tempo de t_{0} (conforme o enunciado), temos
t_{0}=\int_{r_{0}}^{2r_{0}}\frac{dr}{\sqrt{\dfrac{2kq^{2}}{\mu}\left(\dfrac{1}{r_{0}}-\dfrac{1}{r}\right)}}.

Passo 5

Para simplificar o integral fazemos a mudança de variável adimensional x=\dfrac{r}{r_{0}}. Então dr=r_{0}\,dx e os limites vão de x=1 a x=2. Substituindo,
t_{0} =\sqrt{\frac{\mu r_{0}^{3}}{2kq^{2}}}\int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}}.
Definimos o integral adimensional
I\equiv\int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}},
que é um número puro (não depende de r_{0}, q nem m). Assim ficamos com
t_{0}=\sqrt{\frac{\mu r_{0}^{3}}{2kq^{2}}}\;I.

Passo 6

Agora faça a mesma dedução para a segunda experiência: a separação inicial é r_{0}'=2r_{0} e queremos o tempo t' para que a separação passe de 2r_{0} para 4r_{0} (ou seja, dobre também nessa segunda situação). Pelo mesmo raciocínio,
t'=\sqrt{\frac{\mu (r_{0}')^{3}}{2kq^{2}}}\;I =\sqrt{\frac{\mu (2r_{0})^{3}}{2kq^{2}}}\;I.
Como (2r_{0})^{3}=8r_{0}^{3}, temos
t'=\sqrt{8}\,\sqrt{\frac{\mu r_{0}^{3}}{2kq^{2}}}\;I.

Passo 7

Comparando t' com t_{0}:
t'=\sqrt{8}\;t_{0}=2\sqrt{2}\;t_{0}.
Comentário intuitivo: o tempo para a separação duplicar escala como r_{0}^{3/2} (da expressão \sqrt{\mu r_{0}^{3}/(2kq^{2})}), então duplicar a distância inicial por um fator 2 multiplica o tempo por 2^{3/2}=2\sqrt{2}.

Passo 8

Portanto a resposta correta entre as alternativas dadas é a que corresponde a 2\sqrt{2}\,t_{0}. Força, você consegue — o resultado tem uma forma simples porque o integral adimensional I cancela no quociente, sobrando só o fator de escala em r_{0}^{3/2}.

Resposta

2\sqrt{2}\;t_{0}

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