Duas cargas são colocadas a uma distância l uma da outra e são deixadas livres. Após um tempo
a distância entre as cargas duplicou. Estas mesmas cargas são colocadas a uma distância
e são deixadas livres. Determine o tempo para o qual a distância entre as cargas duplicou.
Considere as cargas idênticas.
a)
b)
c)
d)
e)
Considere as cargas idênticas.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (assumi algumas coisas naturais que não foram explicitadas mas são necessárias):
- Duas partículas idênticas, cada uma com carga
e massa , estão inicialmente a uma distância entre si e são liberadas do repouso. - Após um tempo
a distância entre as cargas ficou . - Em outro experimento, as mesmas partículas são colocadas a uma distância inicial
(e também liberadas do repouso). Pergunta: qual é o tempo necessário para que, nesta segunda situação, a distância entre as cargas se torne (isto é, dobre a separação inicial desta segunda experiência)? - Pedido final: expressar esse tempo em função de
.
Observações claras sobre o que foi dado: inicializações do repouso, cargas iguais
e massas iguais
, e queremos o tempo para que a separação duplique em cada caso.
Passo 2
Como as partículas são idênticas e liberadas do repouso, o movimento é simétrico em relação ao centro de massa. Para tratar o problema de forma simples usaremos a coordenada relativa
, que é a distância entre as partículas. Para duas massas iguais
a massa reduzida associada à coordenada relativa é
A força de repulsão entre as cargas tem módulo dado pela lei de Coulomb
onde
. Em termos da coordenada relativa, a equação do movimento é
Em vez de resolver diretamente essa equação diferencial, é mais simples usar conservação de energia (explico já por quê).
Passo 3
A razão para usar energia: as partículas são liberadas do repouso, a força é central e conservativa; portanto a energia mecânica total se conserva. A energia potencial eletrostática entre duas cargas iguais é
Como inicialmente
(no primeiro experimento
) e a velocidade relativa inicial é zero, a conservação de energia entre
e um
dá
Isolando
obtemos
ou
Aqui
é a velocidade com que a separação aumenta.
Passo 4
O tempo necessário para a separação ir de
a algum
é
No nosso caso queremos o tempo para ir de
até
. Chamando esse tempo de
(conforme o enunciado), temos
Passo 5
Para simplificar o integral fazemos a mudança de variável adimensional
. Então
e os limites vão de
a
. Substituindo,
Definimos o integral adimensional
que é um número puro (não depende de
,
nem
). Assim ficamos com
Passo 6
Agora faça a mesma dedução para a segunda experiência: a separação inicial é
e queremos o tempo
para que a separação passe de
para
(ou seja, dobre também nessa segunda situação). Pelo mesmo raciocínio,
Como
, temos
Passo 7
Comparando
com
:
Comentário intuitivo: o tempo para a separação duplicar escala como
(da expressão
), então duplicar a distância inicial por um fator
multiplica o tempo por
.
Passo 8
Portanto a resposta correta entre as alternativas dadas é a que corresponde a
. Força, você consegue — o resultado tem uma forma simples porque o integral adimensional
cancela no quociente, sobrando só o fator de escala em
.