Um cilindro muito longo de raio r e comprimento L \gg restá uniformemente eletrizado com uma densidade volumétrica de cargas +\rho. feito um pequeno furo neste cilindro que o corta de um lado ao outro, passando pelo seu eixo principal e formando um ângulo \theta com este. Um pequeno corpo de carga -q e massa m é solto de uma das extremidades deste furo. Determine em quanto tempo este corpo chegará à outra extremidade.
a) \Delta t=2 \pi \sqrt{\frac{+2 m \epsilon_{0}}{\rho \cdot q \cdot \cos (\theta)}}
b) \Delta t=\pi \sqrt{\frac{+2 m \epsilon_{0}}{\rho \cdot q \cdot \cos (\theta)}}
c) \Delta t=\pi \sqrt{\frac{+2 m \epsilon_{0}}{\rho \cdot q \cdot \operatorname{sen}(\theta)}}
d) \Delta t=\pi \sqrt{\frac{+8 m \epsilon_{0}}{\rho \cdot q \cdot \cos (\theta)}}
e) \Delta t=2 \pi \sqrt{\frac{+2 m \epsilon_{0}}{\rho \cdot q \cdot \cos (\theta)}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Um cilindro muito longo de raio \,r\, e comprimento L\gg r está uniformemente carregado com densidade volumétrica positiva \,\rho\,.
    • Foi feito um pequeno furo cilíndrico que atravessa o cilindro de um lado ao outro, cuja linha central passa pelo eixo do cilindro e faz um ângulo \theta com esse eixo (peguei o ângulo \theta da imagem enviada).
    • Um corpo de carga -q (a carga é negativa, o valor absoluto é q>0) e massa m é solto a partir de repouso em uma das extremidades desse furo (isto é, em um extremo do túnel) e vai percorrer o túnel até a outra extremidade.
  • O que é pedido:
    • Determinar o tempo \Delta t que o corpo leva para ir de uma extremidade do furo até a outra.
Não começo a resolver aqui; apenas enumerei os dados e a pergunta.

Passo 2

Estratégia física e justificativa (superposição + campo de um cilindro uniforme).
  • Ideia física (motivo da escolha): o problema tem simetria de um cilindro muito longo; a maneira mais simples é usar a superposição: o cilindro com um furo é equivalente a um cilindro maciço com densidade \rho mais um cilindro (o do furo) com densidade -\rho (ou seja, subtrair o trecho removido). Para campos eletrostáticos de corpos infinitos e uniformes conhecemos a solução do campo dentro de um cilindro uniforme. Assim, podemos calcular o campo resultante no interior do furo como soma dos campos desses dois cilindros infinitos.
  • Fórmula que vou usar: o campo elétrico dentro de um cilindro infinito, de densidade volumétrica uniforme \rho, a uma distância radial \,s_\perp\, do eixo (para \,s_\perp\le R\,) é obtido pela Lei de Gauss:
E_{\text{cil}}(s_\perp)=\frac{\rho\,s_\perp}{2\epsilon_0},
no sentido radial (ou seja, afastando-se do eixo se \rho>0). Vou deduzir essa fórmula passo a passo no próximo passo para ficar bem claro.

Passo 3

Derivação do campo dentro de um cilindro uniforme usando a Lei de Gauss (aula rápida).
  • Considere um cilindro infinito de raio R com densidade volumétrica \rho. Pegue uma superfície de Gauss cilíndrica coaxial de raio s_\perp\le R e comprimento L_g. Pelo teorema de Gauss,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
  • A simetria mostra que \mathbf{E} é radial e constante na superfície lateral da Gauss, e nulo nas tampas (porque o campo é perpendicular às tampas). Assim a integral reduz a
E(s_\perp)\cdot (2\pi s_\perp L_g)=\frac{\rho\cdot (\pi s_\perp^2 L_g)}{\epsilon_0}.
  • Cancelando L_g e \pi e isolando E,
E(s_\perp)=\frac{\rho s_\perp}{2\epsilon_0}.
Essa é a fórmula que usei no passo anterior: o campo dentro do cilindro cresce linearmente com a distância radial ao eixo.

Passo 4

Expressar o campo ao longo do eixo do furo (linha central do túnel) usando superposição e projetar na direção do túnel.
  • Pelo argumento de superposição: o campo no interior do furo é a soma do campo do cilindro maciço de densidade +\rho mais o campo do cilindro do furo com densidade -\rho. Porém, ao longo da linha central do furo (isto é, exatamente sobre o eixo do cilindro removido) o campo gerado pelo próprio cilindro removido é nulo (porque dentro de um cilindro uniforme o campo no próprio eixo é zero, depende apenas da distância radial ao seu próprio eixo). Portanto, ao longo da linha central do furo o campo total é simplesmente o campo do cilindro maciço avaliado nesses pontos.
  • Parametrização: escolho a coordenada s medida ao longo do eixo do furo, com s=0 no centro do cilindro e s positivo na direção do túnel para a qual apontam as setas no desenho. Um ponto do eixo do furo, a distância s do centro, tem distância radial ao eixo do cilindro principal igual a
s_\perp=|s|\sin\theta,
pois a componente perpendicular ao eixo principal é s\sin\theta (peguei essa relação geométrica do desenho: ângulo entre o túnel e o eixo é \theta).
  • Aplicando a fórmula do campo do cilindro maciço:
\text{(módulo do campo no ponto)}\quad E_{\text{mód}}(s)=\frac{\rho\,s_\perp}{2\epsilon_0}=\frac{\rho\,|s|\sin\theta}{2\epsilon_0}.óó
  • Direção do campo: esse campo é radial (perpendicular ao eixo do cilindro principal). Para s>0 ele aponta no sentido do raio externo na componente perpendicular positiva; para s<0 aponta no sentido oposto. Agora precisamos apenas da componente desse campo na direção do túnel (direção do vetor unitário \mathbf{\hat u} do eixo do furo). O produto escalar entre o vetor radial unitário \mathbf{\hat e}_r e \mathbf{\hat u} vale \sin\theta (geometricamente o ângulo entre \mathbf{\hat e}_r e \mathbf{\hat u} é 90^\circ-\theta, então o cosseno desse ângulo é \sin\theta). Portanto a componente do campo ao longo do túnel é
E_{\parallel}(s)=E_{\text{mód}}(s)\cdot(\mathbf{\hat e}_r\cdot\mathbf{\hat u}) =\frac{\rho\,|s|\sin\theta}{2\epsilon_0}\cdot\sin\theta =\frac{\rho\,|s|\sin^2\theta}{2\epsilon_0}.ó
  • Como queremos tratar o sinal (direção ao longo de s), podemos escrever sem valor absoluto e com o sinal apropriado:
E_{\parallel}(s)=\frac{\rho\,s\sin^2\theta}{2\epsilon_0},
onde o sinal de s dá o sentido correto (para s>0 o campo aponta em sentido positivo de s, etc.).

Passo 5

Força sobre a carga, equação do movimento e identificação como movimento harmônico simples.
  • A carga do corpo é -q. A força elétrica ao longo do túnel é
F(s)=(-q)\,E_{\parallel}(s)=-q\cdot\frac{\rho\,s\sin^2\theta}{2\epsilon_0} =-\left(\frac{q\rho\sin^2\theta}{2\epsilon_0}\right)s.
  • Essa força é proporcional a -s, ou seja é uma força restauradora linear: o corpo está sujeito a uma força da forma F=-k_{\text{eff}} s com constante efetiva
k_{\text{eff}}=\frac{q\rho\sin^2\theta}{2\epsilon_0}.
  • Pela segunda lei de Newton, a equação do movimento é
m\ddot s=-k_{\text{eff}} s,
o que é a equação do Movimento Harmônico Simples (MHS) com pulsação
\omega=\sqrt{\frac{k_{\text{eff}}}{m}}=\sqrt{\frac{q\rho\sin^2\theta}{2m\epsilon_0}}.

Passo 6

Amplitude do movimento (posição inicial) e tempo para ir de uma extremidade à outra.
  • A extremidade do furo ocorre quando a distância radial ao eixo do cilindro atinge r. Ou seja, para o ponto final em magnitude |s|=A vale
A\sin\theta=r \quad\Rightarrow\quad A=\frac{r}{\sin\theta}.
Logo, o corpo, solto em repouso em uma extremidade, parte da posição s=-A (velocidade zero) e vai para a posição s=+A. Para o MHS, o tempo necessário para ir de uma extremidade ao extremo oposto (de -A a +A) é metade do período:
\Delta t=\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}.
  • Substituindo \omega,
\Delta t=\frac{\pi}{\displaystyle\sqrt{\frac{q\rho\sin^2\theta}{2m\epsilon_0}}} =\pi\sqrt{\frac{2m\epsilon_0}{q\rho\sin^2\theta}}.
  • Podemos reescrever isolando a dependência em \sin\theta como
\boxed{\Delta t=\pi\sqrt{\dfrac{2m\epsilon_0}{q\rho}}\cdot\dfrac{1}{\sin\theta}.}

Passo 7

Comentário final sobre comparação com as alternativas (observação importante).
  • A expressão obtida é
\Delta t=\pi\sqrt{\dfrac{2m\epsilon_0}{q\rho}}\cdot\frac{1}{\sin\theta} =\pi\sqrt{\dfrac{2m\epsilon_0}{q\rho\sin^2\theta}}.
Nenhuma das alternativas dadas na enunciação aparece exatamente nesta forma matemática (as alternativas apresentadas têm o fator trigonométrico dentro da raiz numa potência diferente). A alternativa que contém \sin(\theta) é a alternativa (c), mas essa alternativa está escrita como
\Delta t=\pi\sqrt{\dfrac{2m\epsilon_0}{\rho q\sin\theta}},
o que algebraicamente não é igual à expressão correta (difere por um fator \sqrt{\sin\theta} versus 1/\sin\theta). Portanto, a forma correta é a que escrevi acima; se for necessário escolher a alternativa que pretende indicar dependência por \sin\theta, a mais próxima é a (c), porém matematicamente a resposta correta é a que contém 1/\sin\theta (ou \sin^{-1}\theta) fora da raiz conforme obtido.

Resposta

\displaystyle \Delta t=\pi\sqrt{\dfrac{2m\epsilon_0}{q\rho}}\cdot\dfrac{1}{\sin\theta}

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