Um cilindro muito longo de raio r e comprimento
restá uniformemente eletrizado com uma densidade volumétrica de cargas
. feito um pequeno furo neste cilindro que o corta de um lado ao outro, passando pelo seu eixo principal e formando um ângulo
com este. Um pequeno corpo de carga -q e massa m é solto de uma das extremidades deste furo. Determine em quanto tempo este corpo chegará à outra extremidade.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Um cilindro muito longo de raio
e comprimento está uniformemente carregado com densidade volumétrica positiva . - Foi feito um pequeno furo cilíndrico que atravessa o cilindro de um lado ao outro, cuja linha central passa pelo eixo do cilindro e faz um ângulo
com esse eixo (peguei o ângulo da imagem enviada). - Um corpo de carga
(a carga é negativa, o valor absoluto é ) e massa é solto a partir de repouso em uma das extremidades desse furo (isto é, em um extremo do túnel) e vai percorrer o túnel até a outra extremidade.
- Um cilindro muito longo de raio
-
O que é pedido:
- Determinar o tempo
que o corpo leva para ir de uma extremidade do furo até a outra.
- Determinar o tempo
Não começo a resolver aqui; apenas enumerei os dados e a pergunta.
Passo 2
Estratégia física e justificativa (superposição + campo de um cilindro uniforme).
-
Ideia física (motivo da escolha): o problema tem simetria de um cilindro muito longo; a maneira mais simples é usar a superposição: o cilindro com um furo é equivalente a um cilindro maciço com densidade
mais um cilindro (o do furo) com densidade (ou seja, subtrair o trecho removido). Para campos eletrostáticos de corpos infinitos e uniformes conhecemos a solução do campo dentro de um cilindro uniforme. Assim, podemos calcular o campo resultante no interior do furo como soma dos campos desses dois cilindros infinitos. -
Fórmula que vou usar: o campo elétrico dentro de um cilindro infinito, de densidade volumétrica uniforme
, a uma distância radial do eixo (para ) é obtido pela Lei de Gauss:
no sentido radial (ou seja, afastando-se do eixo se
). Vou deduzir essa fórmula passo a passo no próximo passo para ficar bem claro.
Passo 3
Derivação do campo dentro de um cilindro uniforme usando a Lei de Gauss (aula rápida).
- Considere um cilindro infinito de raio
com densidade volumétrica . Pegue uma superfície de Gauss cilíndrica coaxial de raio e comprimento . Pelo teorema de Gauss,
- A simetria mostra que
é radial e constante na superfície lateral da Gauss, e nulo nas tampas (porque o campo é perpendicular às tampas). Assim a integral reduz a
- Cancelando
e e isolando ,
Essa é a fórmula que usei no passo anterior: o campo dentro do cilindro cresce linearmente com a distância radial ao eixo.
Passo 4
Expressar o campo ao longo do eixo do furo (linha central do túnel) usando superposição e projetar na direção do túnel.
- Pelo argumento de superposição: o campo no interior do furo é a soma do campo do cilindro maciço de densidade
mais o campo do cilindro do furo com densidade . Porém, ao longo da linha central do furo (isto é, exatamente sobre o eixo do cilindro removido) o campo gerado pelo próprio cilindro removido é nulo (porque dentro de um cilindro uniforme o campo no próprio eixo é zero, depende apenas da distância radial ao seu próprio eixo). Portanto, ao longo da linha central do furo o campo total é simplesmente o campo do cilindro maciço avaliado nesses pontos. - Parametrização: escolho a coordenada
medida ao longo do eixo do furo, com no centro do cilindro e positivo na direção do túnel para a qual apontam as setas no desenho. Um ponto do eixo do furo, a distância do centro, tem distância radial ao eixo do cilindro principal igual a
pois a componente perpendicular ao eixo principal é
(peguei essa relação geométrica do desenho: ângulo entre o túnel e o eixo é
).
- Aplicando a fórmula do campo do cilindro maciço:
- Direção do campo: esse campo é radial (perpendicular ao eixo do cilindro principal). Para
ele aponta no sentido do raio externo na componente perpendicular positiva; para aponta no sentido oposto. Agora precisamos apenas da componente desse campo na direção do túnel (direção do vetor unitário do eixo do furo). O produto escalar entre o vetor radial unitário e vale (geometricamente o ângulo entre e é , então o cosseno desse ângulo é ). Portanto a componente do campo ao longo do túnel é
- Como queremos tratar o sinal (direção ao longo de
), podemos escrever sem valor absoluto e com o sinal apropriado:
onde o sinal de
dá o sentido correto (para
o campo aponta em sentido positivo de
, etc.).
Passo 5
Força sobre a carga, equação do movimento e identificação como movimento harmônico simples.
- A carga do corpo é
. A força elétrica ao longo do túnel é
- Essa força é proporcional a
, ou seja é uma força restauradora linear: o corpo está sujeito a uma força da forma com constante efetiva
- Pela segunda lei de Newton, a equação do movimento é
o que é a equação do Movimento Harmônico Simples (MHS) com pulsação
Passo 6
Amplitude do movimento (posição inicial) e tempo para ir de uma extremidade à outra.
- A extremidade do furo ocorre quando a distância radial ao eixo do cilindro atinge
. Ou seja, para o ponto final em magnitude vale
Logo, o corpo, solto em repouso em uma extremidade, parte da posição
(velocidade zero) e vai para a posição
. Para o MHS, o tempo necessário para ir de uma extremidade ao extremo oposto (de
a
) é metade do período:
- Substituindo
,
- Podemos reescrever isolando a dependência em
como
Passo 7
Comentário final sobre comparação com as alternativas (observação importante).
- A expressão obtida é
Nenhuma das alternativas dadas na enunciação aparece exatamente nesta forma matemática (as alternativas apresentadas têm o fator trigonométrico dentro da raiz numa potência diferente). A alternativa que contém
é a alternativa (c), mas essa alternativa está escrita como
o que algebraicamente não é igual à expressão correta (difere por um fator
versus
). Portanto, a forma correta é a que escrevi acima; se for necessário escolher a alternativa que pretende indicar dependência por
, a mais próxima é a (c), porém matematicamente a resposta correta é a que contém
(ou
) fora da raiz conforme obtido.