(*) Suponha que no exercício 13, a densidade de carga depende da variável x da seguinte maneira: \rho=\rho_{0}(|x| / d)^{3}, onde \rho_{0}, é uma constante posi-
tiva. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico nas regiões x \leq-d,-d< x<d, e x \geq d. Resposta: \mathbf{E}=-\rho_{0} d / 4 \epsilon_{0} \hat{\imath}, \mathbf{E}= \pm \rho_{0} x^{4} / 4 d^{3} \epsilon_{0} \hat{\imath} e \mathbf{E}=\rho_{0} d / 4 \epsilon_{0} \hat{\imath} respectivamente.
Passo 1
O enunciado dá a densidade volumétrica de carga (função de x):
\rho(x)=\rho_{0}\left(\frac{|x|}{d}\right)^{3},
onde \rho_{0}>0 e d>0 são constantes. A geometria implícita é a de uma lâmina (slab) infinita nas direções y,z e simétrica em relação ao plano x=0, ocupando a faixa -d\le x\le d. O pedido é: determinar módulo, direção e sentido do campo elétrico \mathbf{E} nas regiões
x\le -d,
-d < x < d,
x\ge d.
Informações relevantes dadas:
Densidade varia apenas com |x|, ou seja, \rho é função ímpar mesmo em módulo (mesma para x e -x).
Problema tem simetria de plano infinito (não depende de y,z), então o campo só pode ter componente na direção x.
Queremos \mathbf{E} como vetor (módulo + direção + sentido) em cada região.
Passo 2
Intuição física e simetria (por que o campo só tem componente em x):
A distribuição é uniforme nas direções y e z (infinita e translacionalmente simétrica), e simétrica em relação a x=0. Assim, por simetria, \mathbf{E} não pode ter componentes em y nem em z; só pode apontar ao longo do eixo x.
Além disso, por paridade, \mathbf{E} é uma função ímpar: \mathbf{E}(-x)=-\mathbf{E}(x). Isso significa que o campo aponta para fora do centro (+\hat{\imath} para x>0 e -\hat{\imath} para x<0) porque \rho é positiva (cargas positivas repelem-se).
Conclusão: \mathbf{E}(x)=E(x)\,\hat{\imath} com E(x) escalar que muda de sinal ao trocar x\to -x.
Escolha uma caixa (pillbox) com faces planas perpendiculares ao eixo x, área de seção A, e faces localizadas em x=-x_0 e x=+x_0, simétrica em torno de 0. Pelo item anterior, somente as duas faces planas contribuem para o fluxo.
O fluxo total é a soma das contribuições das duas faces; como os vetores normais das faces estão orientados para fora, obtemos (para x_0\ge 0):
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=2E(x_0)\,A.
A carga interna é a integral volumétrica entre -x_0 e +x_0:
onde usei s para integrar em s\ge 0 (aproveitando a simetria \rho(-s)=\rho(s)).
Passo 4
Expressão geral para o campo dentro do slab (|x|<d\)):
- Aplicando Gauss e cancelando \(2A\):
\[E(x_0)=\frac{1}{\epsilon_{0}}\int_{0}^{x_0}\rho(s)\,ds \qquad\text{(válido para }0\le x_0\le d\text{)}.
Interpretação física: o campo cresce com x^{4}\] perto do centro (rápido aumento) porque a densidade também cresce com \(|x|^{3}.]
Passo 5
Campo fora do slab (|x|\ge d):
Para x_0\ge d toda a carga do slab está contida entre -d e +d. Então a carga interna para a caixa simétrica de faces em \pm x_0 é a carga total do slab por unidade de área A:
E(x_0)=\frac{\rho_{0}d}{4\epsilon_{0}}\qquad\text{para }x_0\ge d.
Sinal/direção: para x\ge d o campo aponta no sentido positivo (+\hat{\imath}); para x\le -d o campo aponta no sentido negativo (-\hat{\imath}). Em vetorial:
Campo interno cresce como x^{4} (módulo) e aponta para fora do centro (sinal conforme x).
Campo externo é constante (independe de x), com magnitude \rho_{0}d/(4\epsilon_{0}), e aponta para fora do slab (para +x quando x>d, para -x quando x<-d).
Em x=d a expressão interna para x=d dá E(d)=\rho_{0}d/(4\epsilon_{0}), que coincide com o valor externo — coerente com a continuidade do campo (a densidade é finita, não há folha de carga singular).