Duas cascas cilíndricas muito longas, de raios a e b(b>a) estão dispostas coaxialmente e mantidas a uma diferença de potencial De. Considere a região entre as placas preenchida com um meio de condutividade g. Use novamente a lei Ohm para calcular a corrente elétrica entre as placas (por unidade de comprimento ao longo dos cilindros).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos duas cascas cilíndricas coaxiais, raios a (interna) e b (externa), com b>a, separadas por um material com condutividade g. As cascas estão a uma diferença de potencial De. A missão é achar a corrente elétrica por unidade de comprimento que passa entre elas, usando a lei de Ohm estendida para um meio contínuo.
Conteúdo necessário: teoria de condução em meios contínuos, densidade de corrente J=gE, campo elétrico em coordenadas cilíndricas e integração de uma resistência diferencial.

Passo 2

Primeiro, a gente lembra que a corrente flui radialmente entre as cascas, então o campo elétrico E também é radial e só depende de r. A lei de Ohm local diz:
J(r)=g,E(r),
Como é só radial, escrevemos E(r)=-dVdr,,
e a corrente por unidade de comprimento, I, atravessa uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento unitário, então
I=J(r)cdot(2pi r),

Passo 3

Substituindo J(r)=g(-dV/dr) em I=Jcdot2pi r, temos
I = -g,dVdr;2pi r Longrightarrow dVdr = -I2pi g,r,
Agora integramos r de a até b e a respectiva variação de potencial de V(a) até V(b), sabendo que V(a)-V(b)=De:
integralV(a)^V(b)dV = -I2pi gintegrala^bdrr,
O lado esquerdo dá V(b)-V(a)=-De, então:
-De

Passo 4

Cancelando os sinais “-” e isolando I, chega-se a
I = 2pi g,De

Resposta

A corrente elétrica por unidade de comprimento entre as cascas cilíndricas é
boxedI = 2pi,g,De

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