Mostre que a f.e.m. induzida num circuito fixo
, devido à variação do campo magnético, também pode ser escrita como
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a força eletromotriz (f.e.m.) induzida em um circuito fixo $ C $, devido à variação do campo magnético, pode ser escrita como:
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos fundamentais:
- Força Eletromotriz (f.e.m.) Induzida: Relacionada à variação do campo magnético.
- Lei de Faraday: Que liga a variação do fluxo magnético à f.e.m. induzida.
- Potencial Vetorial $ \vec{A} $: Uma forma de representar o campo magnético.
- Cálculo de Integrais de Linha: Para integrar vetores ao longo de um caminho fechado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Faraday. Ela nos diz que a f.e.m. induzida em um circuito fechado $ C $ é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético $ \Phi_B $ através da superfície limitada por $ C $:
Isso significa que se o campo magnético que passa por $ C $ muda com o tempo, isso gera uma f.e.m. no circuito.
Passo 3
Agora, vamos entender o fluxo magnético $ \Phi_B $. Ele é definido como a integral do campo magnético $ \vec{B} $ sobre a superfície $ S $ delimitada pelo circuito $ C $:
Onde $ d\vec{S} $ é um elemento de área da superfície $ S $.
Passo 4
Sabemos que o campo magnético $ \vec{B} $ pode ser expresso em termos do potencial vetorial $ \vec{A} $ da seguinte maneira:
Aqui, $ \nabla \times \vec{A} $ representa o rotor de $ \vec{A} $, que nos dá o campo magnético.
Passo 5
Vamos substituir $ \vec{B} $ na expressão do fluxo magnético:
Parece complicado, mas existe uma ferramenta poderosa no cálculo vetorial chamada Teorema de Stokes que relaciona essa integral de superfície com uma integral de linha ao redor do contorno da superfície.
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes, temos:
Então, o fluxo magnético pode ser escrito como uma integral de linha do potencial vetorial $ \vec{A} $ ao longo do caminho $ C $:
Passo 7
Agora, voltando à Lei de Faraday, substituímos o fluxo magnético $ \Phi_B $ pela expressão que acabamos de encontrar:
E assim, mostramos que a f.e.m. induzida pode ser escrita em termos do potencial vetorial $ \vec{A} $.
Resposta
A força eletromotriz induzida no circuito $ C $ pode ser expressa como