Determine o potencial eletrostático na borda de um disco condutor de raio R uniformemente carregado com densidade supericial
.
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede o potencial eletrostático na borda (no ponto do contorno) de um disco de raio
que está carregado com densidade superficial uniforme
. Os dados e o pedido, em linguagem direta:
- Dado: disco plano, de raio
, carga distribuída sobre a superfície do disco com densidade superficial (constante). - Pedido: encontrar o potencial
no ponto que fica exatamente na borda do disco (ou seja, num ponto do mesmo plano do disco, a uma distância do centro).
Observação importante (para evitar confusão): o enunciado diz “disco condutor” e “uniformemente carregado”. Num condutor em equilíbrio eletrostático a densidade superficial normalmente não é uniforme; aqui vamos tratar o problema como o de um disco plano com distribuição superficial uniforme dada
(ou seja, a carga está fixada e distribuída uniformemente sobre a face do disco). O objetivo é calcular o potencial resultante naquele ponto do plano do disco.
Passo 2
Escrever a expressão integral do potencial a partir da lei de Coulomb (superfície carregada). A expressão geral do potencial devido a uma distribuição superficial
é
onde
é o ponto de observação (a borda do disco) e
percorre a superfície do disco. Aqui
é constante, portanto pode sair da integral.
Vamos usar coordenadas polares no plano do disco (plano
). Escolhendo o centro do disco como origem, um elemento de área é
, com
e
. Tomamos o ponto de observação na borda, por exemplo em coordenadas
. A distância entre
e
é
Portanto o potencial na borda é
Passo 3
Fazer a integral angular primeiro (em
). A integral
é uma integral padrão que se expressa em termos da função elíptica completa de primeira espécie
. Para ver isso, note que se definirmos
então há a identidade conhecida
Aplicando essa fórmula com
e
tem-se
e o parâmetro elíptico
Logo
Substituindo de volta no integrando do potencial obtemos
Simplificando o fator
,
Interlúdio didático sobre
: a função
é a integral elíptica completa de primeira espécie,
definida para
. Ela aparece sempre que fazemos integrais angulares do tipo que tivemos acima.
Passo 4
Fazer uma mudança de variável conveniente para simplificar o parâmetro elíptico. Coloca-se
(com
). Então
. Substituindo:
O integral torna-se
Isso dá
Passo 5
Outra mudança que facilita a expressão: escrevemos
com
. Então
O parâmetro elíptico transforma-se de forma muito simples:
Também
Substituindo no integral obtém-se
Passo 6
Agora usamos uma identidade que relaciona integrais envolvendo
e simplifica o resultado. A identidade útil (que pode ser demonstrada transformando a ordem de integração na definição de
e usando integrais elementares) é
(Comentário didático: provar essa identidade envolve trocar a ordem de integração entre a integral que define
e a integral em
, e depois aplicar substituições trigonométricas — é um exercício de cálculo de integrais especiais. Aqui aceitamos essa identidade como passo técnico padrão, pois ela resulta da avaliação explícita do integral duplo que aparece se formos devolver
à sua definição integral.)
Aplicando essa identidade ao resultado do passo anterior:
Passo 7
Recapitulando o raciocínio em palavras: escrevemos o potencial como integral sobre o disco, efetuamos a integral angular que deu uma função elíptica
, fizemos mudanças de variáveis (primeiro
, depois
) que transformaram o integral numa forma em que um integral padrão envolvendo
pode ser avaliado explicitamente, levando ao valor final
. Isso concorda com a resposta fornecida.