Duas cascas esféricas finas, uma de raio R e outra de raio 2 R, circundam uma carga puntiforme isolada. Qual é a razão entre o número de linhas de campo que atravessam esfera maior e o número de linhas de campo através da menor? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre o número de linhas de campo que atravessam duas cascas esféricas concêntricas, de raios R e 2R, envolvendo uma mesma carga puntiforme Q. O conteúdo necessário é a lei de Gauss para o campo elétrico e a interpretação dos “linhas de campo” como representação do fluxo elétrico.

Passo 2

Segundo a lei de Gauss, o fluxo elétrico total \Phi através de qualquer superfície fechada que envolva a carga Q é
\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}\,.
Em representação por linhas de campo, o número de linhas que atravessa a superfície é proporcional ao fluxo \Phi.

Passo 3

Para a casca esférica de raio R, o número de linhas que a atravessa, digamos N_R, é proporcional a
N_R \propto \Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}\,.

Passo 4

Para a casca esférica de raio 2R, como ela também envolve a mesma carga Q, o fluxo é o mesmo:
\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0},
logo o número de linhas N_{2R} que atravessa essa casca satisfaz
N_{2R} \propto \frac{Q}{\varepsilon_0} = \Phi.

Passo 5

Como ambos fluxos são iguais, os dois números de linhas são iguais:
N_{2R} = N_R.

Resposta

A razão entre o número de linhas de campo que atravessam a esfera de raio 2R e a de raio R é
\frac{N_{2R}}{N_R} = 1.

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