Duas correntes iguais a I em fios retilíneos, percorrem fios iguais separados por uma distância a em relação à origem de forma simétrica. No fio à esquerda da origem a orientação da corrente é saindo do plano da página e do fio na direita é entrando no plano da página. Quanto vale B em qualquer ponto do eixo x , sendo o eixo x no plano da página ?

Passo 1

O enunciado descreve duas correntes iguais a I em fios infinitos, perpendiculares ao plano da página, localizados em x=-a (corrente saindo do plano, ou seja, ao longo de +z) e em x=+a (corrente entrando no plano, ou seja, ao longo de -z). Queremos o campo magnético B em um ponto genérico do eixo x (no plano da página). Para isso vamos usar o resultado do campo de um fio retilíneo infinito:
B = mu0 I2pi r,
com direção tangencial ao círculo em torno do fio, dada pela regra da mão direita.

Passo 2

Cálculo de B devido ao fio da esquerda ( x=-a), corrente ao longo de +z:
  1. A distância do ponto x até o fio é
rL = |,x - (-a),| = |,x + a,|
  1. O vetor radial unitário é
hat rL = x + a|x + a|,hat x
  1. A direção do campo é hatphiL = hat z times hat rL, de modo que
hatphiL = hat z times x + a|x + a|,hat x = x + a|x + a|,hat y
  1. Portanto
BL(x) = mu0 I2pi,rL,hatphiL = mu0 I2pi,|x + a|,x + a|x + a|,hat y = mu0 I2pi,(x + a),hat y

Passo 3

Cálculo de B devido ao fio da direita ( x=+a), corrente ao longo de -z:
  1. A distância é
rR = |,x - a,|
  1. O vetor radial unitário é
hat rR = x - a|x - a|,hat x
  1. A direção do campo é hatphiR = (-hat z)timeshat rR, logo
hatphiR = -hat z times x - a|x - a|,hat x = -,x - a|x - a|,hat y
  1. Assim
BR(x) = mu0 I2pi,rR,hatphiR = mu0 I2pi,|x - a|,gl(-x - a|x - a|gr),hat y = -,mu0 I2pi,(x - a),hat y

Passo 4

Pelo princípio da superposição, o campo total é
B(x) = BL(x) + BR(x) = mu0 I2pil(1x + a - 1x - ar),hat y

Resposta

boxed B(x) = mu0 I2pi,gl(1x + a - 1x - agr),hat y

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