Duas correntes líquidas contendo diferentes concentrações de açúcar ( 20 \% e 40 \% ) são misturadas para formar uma corrente com 30 \% de açúcar.
  • a) Determine a razão mássica entre as duas correntes.
  • b) Se a vazão da corrente de 20 \% for 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}, qual será a vazão da corrente de 40 \% ?

Passo 1

O enunciado dá duas correntes líquidas com concentrações de açúcar diferentes que são misturadas para obter uma mistura com concentração intermediária. Perguntas:
  • (a) Determinar a razão mássica entre as duas correntes.
  • (b) Se a vazão da corrente de 20\% for 100\\ \mathrm{kg/h}, qual será a vazão da corrente de 40\%?
Dados fornecidos (listei explicitamente):
  • Concentração da corrente A (corrente com 20\% de açúcar): x_A=0,20.
  • Concentração da corrente B (corrente com 40\% de açúcar): x_B=0,40.
  • Concentração da mistura resultante: x_F=0,30.
  • Na parte (b) temos adicionalmente \dot{m}_A=100\\ \mathrm{kg/h} (vazão mássica da corrente de 20\%).

Passo 2

Defino variáveis para organizar a conta (sempre faço isso na prova para evitar confusão):
  • Seja \dot{m}_A a vazão mássica da corrente com 20\% (unidade \mathrm{kg/h}).
  • Seja \dot{m}_B a vazão mássica da corrente com 40\% (unidade \mathrm{kg/h}).
  • A vazão da mistura final será \dot{m}_F=\dot{m}_A+\dot{m}_B.
Explicando: as concentrações x são frações mássicas (por exemplo x_A=0,20 significa que em 1\\ \mathrm{kg} da corrente A há 0,20\\ \mathrm{kg} de açúcar).

Passo 3

Faço o balanço de massa do componente açúcar (princípio básico: a massa de açúcar que entra = massa de açúcar que sai, porque não há reação nem acumulação):
A equação do balanço de açúcar é
x_A\dot{m}_A + x_B\dot{m}_B = x_F(\dot{m}_A+\dot{m}_B).
Aqui cada termo tem significado:
  • x_A\dot{m}_A = massa de açúcar por hora que entra pela corrente A;
  • x_B\dot{m}_B = massa de açúcar por hora que entra pela corrente B;
  • x_F(\dot{m}_A+\dot{m}_B) = massa de açúcar por hora na mistura resultante.

Passo 4

Substituo os valores de concentração na equação do balanço:
0,20\dot{m}_A + 0,40\dot{m}_B = 0,30(\dot{m}_A+\dot{m}_B).

Passo 5

Resolvo a equação passo a passo (álgebra simples, mostro todas as etapas):
Expandindo o lado direito:
0,20\dot{m}_A + 0,40\dot{m}_B = 0,30\dot{m}_A + 0,30\dot{m}_B.
Agrupo termos com \dot{m}_A de um lado e com \dot{m}_B do outro:
0,20\dot{m}_A - 0,30\dot{m}_A = 0,30\dot{m}_B - 0,40\dot{m}_B.
Faço as subtrações:
-0,10\dot{m}_A = -0,10\dot{m}_B.
Divido ambos os lados por -0,10 (número não nulo), obtendo:
\dot{m}_A = \dot{m}_B.
Portanto a razão mássica entre as duas correntes é
\frac{\dot{m}_A}{\dot{m}_B}=1,
ou seja, razão 1:1.
Pequena interpretação física: como a mistura tem concentração exatamente no meio entre 20\% e 40\% (isto é, 30\% está equidistante), precisamos de massas iguais das duas correntes para balancear o açúcar.

Passo 6

(Atalho útil para a prova — regra da mistura / “allegation”): a razão das massas é dada pelas diferenças entre concentrações
\frac{\dot{m}_A}{\dot{m}_B}=\frac{x_B-x_F}{x_F-x_A}=\frac{0,40-0,30}{0,30-0,20}=\frac{0,10}{0,10}=1.
Isso confirma o resultado anterior e é uma técnica rápida para exercícios semelhantes.

Passo 7

Resolvo a parte (b) usando o resultado da parte (a). Como \dot{m}_A=\dot{m}_B, se \dot{m}_A=100\\ \mathrm{kg/h} então
\dot{m}_B=100\\ \mathrm{kg/h}.
Se quiser, a vazão da mistura final seria \dot{m}_F=\dot{m}_A+\dot{m}_B=200\\ \mathrm{kg/h} (só para contexto).

Resposta

Razão mássica \dot{m}_{20\%}:\dot{m}_{40\%}=1:1
Vazão da corrente de 40\%: \dot{m}_{40\%}=100\\ \mathrm{kg/h}

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