\frac{Exponencial e logaritmo}{utilizando as propriedades}
\begin{aligned} & e^{a+b}=e^{a} e^{b}, \quad \ln (e)=1 \\\ & \ln x^{a}=a \ln x, \quad \ln (a \cdot b)=\ln (a)+\ln (b) \end{aligned}
encontre a x da seguinte equação:
10\left(1-e^{-x}\right)=5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar x que satisfaz a equação
10\left(1-e^{-x}\right)=5.
Informações relevantes fornecidas (que poderemos usar):
e^{a+b}=e^{a}e^{b},\qquad \ln(e)=1,
\ln x^{a}=a\ln x,\qquad \ln(ab)=\ln a+\ln b.
A pergunta é: qual é o valor de x que torna a equação verdadeira?

Passo 2

Primeiro passo algébrico: isolar o termo que contém a exponencial. Divido ambos os lados da equação por 10. Justificativa: podemos dividir os dois lados de uma igualdade por um mesmo número não nulo sem alterar a igualdade. Assim:
1-e^{-x}=\frac{5}{10}.

Passo 3

Faço a conta à direita e isolo e^{-x}. \dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}. Subtraio 1 de ambos os lados e multiplico por -1 (ou simplesmente passo termo):
e^{-x}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora temos uma exponencial isolada: e^{-x}=\tfrac{1}{2}. Para “desfazer” a exponenciação e resolver para x usamos o logaritmo natural \ln, que é a função inversa da exponencial e^{(\cdot)}. Atenção ao domínio: só podemos aplicar \ln em números positivos; aqui \tfrac{1}{2}>0, então tudo certo. Aplico \ln em ambos os lados:
\ln\bigl(e^{-x}\bigr)=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).

Passo 5

Uso a propriedade \ln x^{a}=a\ln x e também que \ln(e)=1. Primeiro, note que
\ln\bigl(e^{-x}\bigr)=-x\ln(e)=-x\cdot 1=-x.
Portanto a igualdade do Passo 4 vira
-x=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).

Passo 6

Isolo x multiplicando por -1:
x=-\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Agora simplifico \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) usando a propriedade \ln x^{a}=a\ln x: como \tfrac{1}{2}=2^{-1}, temos
\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\ln\bigl(2^{-1}\bigr)=-1\cdot\ln 2=-\ln 2.
Substituindo na expressão de x:
x=-\bigl(-\ln 2\bigr)=\ln 2.

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): calcule e^{-x} com x=\ln 2. Usando que e^{\ln 2}=2, temos
e^{-x}=e^{-\ln 2}=\frac{1}{e^{\ln 2}}=\frac{1}{2}.
Então 10(1-e^{-x})=10\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)=10\cdot\tfrac{1}{2}=5, que confere com o enunciado.

Resposta

\ln 2

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