Uma indústria deseja diluir um suco concentrado de laranja que contém 65% de sólidos para obter um suco pronto para consumo com 12 \% de sólidos.
  • a) Calcule as massas de suco concentrado e de água necessários para produzir 1000 kg de suco pronto.

Passo 1

O enunciado pede que se obtenha 1000\\ \text{kg} de suco pronto com 12\% de sólidos a partir de um suco concentrado que tem 65\% de sólidos e de água (que tem 0\% de sólidos). A pergunta é: quais massas (em kg) de suco concentrado e de água são necessárias para obter esses 1000\\ \text{kg} de suco pronto?
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{massa final} = 1000\\ \text{kg},\\\ &\text{concentração do concentrado} = 65\% = 0{,}65,\\\ &\text{concentração do suco pronto} = 12\% = 0{,}12,\\\ &\text{água tem concentração} = 0\%. \end{aligned}çãçãáçã

Passo 2

Escolhemos resolver com conservação da massa de sólidos (uma conta simples de mistura). A ideia: a massa total de sólidos no produto final deve ser igual à soma das massas de sólidos fornecidas pelas partes que misturamos. Isso gera um sistema linear muito simples que dá a massa de concentrado e a massa de água.

Passo 3

Definimos variáveis (sempre bom deixar claro):
\begin{aligned} &x = \text{massa do suco concentrado (em kg)},\\\ &y = \text{massa da água (em kg)}. \end{aligned}á
As unidades são quilogramas. Temos duas equações naturais: conservação da massa total e conservação da massa de sólidos.

Passo 4

Escrevemos as equações e explicamos cada termo:
  1. Conservação da massa total:
x + y = 1000,
pois a soma das massas das partes é a massa final.
  1. Conservação da massa de sólidos:
0{,}65\,x + 0\cdot y = 0{,}12 \cdot 1000.
Explicando: 0{,}65\,x é a massa de sólidos trazida pelo concentrado (fração 0{,}65 vezes a massa x); a água não traz sólidos (multiplica por 0); o lado direito é a massa de sólidos desejada no produto final: 12\% de 1000\\ \text{kg}, isto é 0{,}12\cdot1000.

Passo 5

Resolvemos a equação dos sólidos para x:
0{,}65\,x = 0{,}12\cdot 1000 = 120.
Isolando x,
x = \frac{120}{0{,}65}.
Para facilitar a conta sem calculadora, transformamos 0{,}65 em fração: 0{,}65=\dfrac{65}{100}=\dfrac{13}{20}. Então
x = 120 \div \frac{13}{20} = 120\cdot\frac{20}{13} = \frac{2400}{13}.
Agora transformamos em decimal (divisão de inteiros): \dfrac{2400}{13}=184{,}6153846\ldots (a repetição 615384 se repete). Arredondando para duas casas decimais, obtemos
x \approx 184{,}62\\ \text{kg}.

Passo 6

Calculamos y pela primeira equação x+y=1000:
y = 1000 - x = 1000 - \frac{2400}{13} = \frac{13000-2400}{13} = \frac{10600}{13}.
Em decimal,
y = \frac{10600}{13}=815{,}384615\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
y \approx 815{,}38\\ \text{kg}.

Passo 7

Cheque rápido para garantir que faz sentido: massa de sólidos trazida pelo concentrado (usando o valor exato em fração)
0{,}65\cdot \frac{2400}{13} = \frac{65}{100}\cdot\frac{2400}{13} = \frac{65\cdot2400}{100\cdot13}=\frac{156000}{1300}=120,
ou seja, 120\\ \text{kg} de sólidos no total, e 120/1000=0{,}12 = 12\% como pedido. Tudo confere.

Passo 8

Dica rápida para a prova: monte sempre (i) equação da massa total e (ii) equação da massa do componente que interessa (aqui, sólidos). Isole a variável mais fácil (a que aparece sem soma) e calcule. Se der fração, deixe em fração até o fim para checar exatidão, depois arredonde.

Resposta

Suco concentrado: 184{,}62\\ \text{kg}
Água: 815{,}38\\ \text{kg}

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