Duas crianças estão brincando com um jogo no qual elas tentam atirar bolas de gude dentro de uma caixa no chão. Elas usam a descompressão de uma mola. A primeira criança comprime a mola de 1,2 cm e a bola cai 18 cm antes do alvo, que está a 2 m horizontalmente da borda da mesa. A que distância deve a segunda criança comprimir a mola de modo a que a bola atinja o interior do alvo?

Passo 1

Beleza, então o problema é assim: duas crianças usam uma mola pra lançar bolinha de gude na horizontal do tampo de uma mesa. A primeira aperta a mola em 1,2 cm e a bolinha cai a 18 cm antes de um alvo que está a 2 m da borda. A gente quer descobrir em quanto a segunda criança deve comprimir a mola pra bolinha acertar certinho os 2 m.
Conteúdo: conservação de energia (energia elástica vira energia cinética) e movimento de projétil na horizontal. Vamos usar as fórmulas de energia da mola e a relação entre velocidade inicial e alcance horizontal.

Passo 2

Primeiro, energia elástica da mola vira energia cinética da bolinha.
Fórmula da energia da mola comprimida em x é
Erm mola=tfrac12,k,x^2
e energia cinética é
Erm cin=tfrac12,m,v^2,
Como a mola descarrega sem perda, temos
tfrac12,k,x^2=tfrac12,m,v^2 Rightarrow v = xraizkm,
Isso mostra que a velocidade inicial v da bolinha é proporcional à compressão x.

Passo 3

Agora, a bolinha sai na horizontal com velocidade v e cai de uma altura fixa (altura da mesa). O tempo de queda t depende só da altura H e da gravidade g:
t=raiz2Hg,,
porém esse t é o mesmo para os dois lançamentos. O alcance horizontal é
R=v,t,
Como t é constante e vpropto x, concluímos que
Rpropto x,
Em outras palavras, a razão dos alcances é igual à razão das compressões:
R2R1=x2x1,

Passo 4

Na situação 1:
x1=1,2 cm, R1=2,00 m-0,18 m=1,82 m
Queremos R2=2,00 m. Então
x2 = x1;R2R1 = 1,2 cm;times2,001,82approx 1,2;times1,0989approx1,32 cm

Resposta

A segunda criança deve comprimir a mola em aproximadamente boxed1,32 cm.

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