(a) Duas curvas são tangentes num determinado ponto (x, y) se possuem a mesma reta tangente nesse ponto. Determine a, b e c para que as curvas y=a x-x^2 e y=x^2+2 b x+c sejam tangentes no ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado pede que as duas curvas
y1(x)=a x - x^2
e
y2(x)=x^2+2bx+c
sejam tangentes no ponto (1,0). Para isso precisamos garantir duas coisas em x=1:
  1. os valores de y1 e y2 coincidem (passam pelo ponto),
  2. as derivadas y1' e y2' coincidem (mesma reta tangente).

Passo 2

Impondo que ambas passem por (1,0), temos
y1(1)=acdot1-1^2=a-1=0Longrightarrow a=1,
y2(1)=1^2+2bcdot1+c=1+2b+c=0Longrightarrow c=-1-2b

Passo 3

Agora igualamos as derivadas em x=1. Calculamos
y1'(x)=a-2xLongrightarrow y1'(1)=a-2,
y2'(x)=2x+2bLongrightarrow y2'(1)=2+2b
Para tangência, y1'(1)=y2'(1), logo
a-2=2+2bLongrightarrow 2b=a-4Longrightarrow b=a-42
Substituindo a=1
b=1-42=-32

Passo 4

Usando c=-1-2b e b=-tfrac32, obtemos
c=-1-2l(-tfrac32r)=-1+3=2

Resposta

a=1, b=-tfrac32, c=2.

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