1. Duas escalas termométricas E_{1} e E_{2} foram criadas. Na escala E_{1}, o ponto de fusão do gelo sob pressão de 1 atm (ponto de gelo) corresponde a +12 e o ponto de ebulição da água sob pressão de 1 atm (ponto de vapor) corresponde a +87 . Na escala E_{2}, o ponto de gelo é +24 .
Os números x e y são, respectivamente, as medidas nas escalas E_{1} e E_{2} correspondentes a 16^{\circ} \mathrm{C}. Se os números 16, x \mathrm{e} y formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, o ponto de vapor na escala E_{2} seria:
A. 120 .
B. 99.
C. 78 .
D. 64.
E. 57.

Passo 1

O enunciado trata de duas escalas termométricas lineares E_{1} e E_{2}. Na escala E_{1}, o gelo ( 0\circC) vale +12 e a ebulição ( 100\circC) vale +87. Na escala E_{2}, o gelo vale +24 e a ebulição vale um valor desconhecido B. Precisamos achar B sabendo que, para 16\,^\circ\mathrm{C}, as leituras 16, x (em E_{1}) e y (em E_{2}) formam progressão geométrica.

Passo 2

Montamos as funções lineares de conversão Celsius \to E_1 e Celsius \to E_2.
Como f_{1}(0)=12 e f_{1}(100)=87, a inclinação é
m_1 = \frac{87 - 12}{100} = \frac{75}{100} = \frac{3}{4},
logo
f_{1}\text{(C)} = 12 + \frac{3}{4}\,C.
Como f_{2}(0)=24 e f_{2}(100)=B, a inclinação é \tfrac{B-24}{100}, logo
f_{2}\text{(C)} = 24 + \frac{B - 24}{100}\,C.

Passo 3

Calculamos x = f_{1}(16):
x = 12 + \frac{3}{4}\cdot 16 = 12 + 12 = 24.

Passo 4

Para 16, x e y formarem progressão geométrica, a razão é
r = \frac{x}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2},
e portanto
y = x \cdot r = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36.

Passo 5

Impondo f_{2}(16)=y, temos
24 + \frac{B - 24}{100}\cdot 16 = 36 \quad\Longrightarrow\quad 24 + \frac{4(B-24)}{25} = 36.
Subtraindo 24 de ambos os lados:
\frac{4(B-24)}{25} = 12 \quad\Longrightarrow\quad 4(B - 24) = 300 \quad\Longrightarrow\quad B - 24 = 75 \quad\Longrightarrow\quad B = 99.

Resposta

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