Duas esferas condutoras idênticas, fixadas no espaço, atraem-se com uma força eletrostática de 0,108 N quando separadas de 50,0 cm. As esferas são conectadas por um fio condutor fino. Quando o fio é removido, as esferas repelem-se com uma força eletrostática de 0,036 N. Quais eram as cargas iniciais das esferas? R : 3 mu C e -1 mu C ;-1 mu C e 3 mu C ;-3 mu C e 1 mu C ; 1 mu C e -3 mu C.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o exercício diz e o que precisamos usar.
Duas esferas condutoras idênticas, fixas a 50,0 cm de distância, se atraem com força eletrostática de 0,108 N. Depois a gente conecta as duas por um fio (os elétrons “viajam” até ficar equilíbrio) e, quando solta o fio, elas se repelem com força de 0,036 N (na mesma distância).
Esse é um problema de eletrostática básica, usando:
  • Lei de Coulomb: .
  • Conservação da carga quando a gente conecta as esferas (a carga total não muda e se divide igualmente entre elas).
    Então vamos precisar calcular:
  1. o produto a partir da força de atração;
  2. a soma a partir da força de repulsão depois da conexão;
  3. daí resolver um sistema para achar e .

Passo 2

Primeiro, a força inicial de atração F1 = k,|q1 q2|r^2 Longrightarrow |q1 q2| = F1,r^2k nos dá o valor de |q1 q2| = 0,108cdot(0,50)^28,99times10^9 = 0,108cdot0,258,99times10^9 approx 3,0times10^-12,C^2 . Como é atração, sabemos que q1 q2 = -3,0times10^-12,C^2 , mas vamos achar a magnitude:
Substituindo ,N, ,m e :
Como é atração, de fato

Passo 3

Depois de conectar o fio, a carga total F2 = k,(Q/2)^2r^2 = k,Q^24,r^2 se divide em duas esferas idênticas, cada uma com Q^2 = 4,r^2,F2k = 4cdot(0,50)^2cdot0,0368,99times10^9 = 4cdot0,25cdot0,0368,99times10^9 approx 4,0times10^-12,C^2 . A nova força de repulsão é
Q = q1 + q2 = pmraiz4,0times10^-12 = pm2,0times10^-6,C
Logo
Então

Passo 4

Temos agora um sistema de duplo grau:
q1 + q2 = S, q1,q2 = P,
onde q1,2 = S pm raizS^2 - 4P2 ,μC e S^2 - 4P = (2,0times10^-6)^2 - 4l(-3,0times10^-12r) = 4,0times10^-12 + 12,0times10^-12 = 16,0times10^-12, ,×10⁻¹² C².
A solução geral é
q1 = 2,0+4,02,murm C=3,0,murm C, q2 = 2,0-4,02,murm C=-1,0,murm C
Calculemos o discriminante:
q1 = -2,0+4,02,murm C=1,0,murm C, q2 = -2,0-4,02,murm C=-3,0,murm C,
.
Logo, para :
Ou invertendo .
E para :
ou vice-versa.

Resposta

As cargas iniciais eram
3 μC e –1 μC (em qualquer ordem)
ou
1 μC e –3 μC (em qualquer ordem).

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