Duas esferas condutoras idênticas, uma de 6,0 \mathrm{~cm} de raio e a outra de 12,0 \mathrm{~cm} de raio, cada uma com carga de 3,0 \times 10^{-8} \mathrm{C}, estão bem distantes uma da outra. Se as esferas forem ligadas por um fio condutor, determinar:
a) O sentido do movimerto e a intensidade da carga transferida.
b) A carga final em cada esfera e o potencial de cada uma.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas condutoras, inicialmente bem distantes, com as seguintes informações:
\text{raio da esfera 1 (menor)}\; R_1 = 6{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}060\\ \mathrm{m}
\text{raio da esfera 2 (maior)}\; R_2 = 12{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}120\\ \mathrm{m}
\text{carga inicial em cada uma} \; Q_{1,\text{ini}} = Q_{2,\text{ini}} = 3{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}
As perguntas são:
a) Qual o sentido do movimento de carga quando ligamos as esferas por um fio condutor e qual a intensidade da carga transferida?
b) Qual será a carga final em cada esfera e qual o potencial final comum de cada uma?

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicação didática):
  • Uma esfera metálica isolada, carregada, tem potencial elétrico (relativo ao infinito) dado por
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{R}=k\,\frac{Q}{R},
onde Q é a carga da esfera, R é seu raio e k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\approx 8{,}988\times 10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Quando duas condutoras são ligadas por um fio, cargas se movem até que as duas fiquem ao mesmo potencial (porque o fio é equipotencial). Logo, após a ligação vale
V_1=V_2.
  • A carga total é conservada (não há perda para o fio ideal nem para o ambiente), então
Q_1+Q_2=Q_{\text{total}}=\text{soma das cargas iniciais}.
Vamos aplicar essas ideias com calma.

Passo 3

Escrevendo as condições matemáticas explicadas:
  • Igualdade de potenciais:
k\,\frac{Q_1}{R_1}=k\,\frac{Q_2}{R_2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{Q_1}{R_1}=\frac{Q_2}{R_2}.
Aqui Q_1 e Q_2 são as cargas finais nas esferas de raios R_1 e R_2.
  • Conservação de carga:
Q_1+Q_2=Q_{\text{total}}.
Calculemos Q_{\text{total}}: inicialmente cada esfera tem 3{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}, portanto
Q_{\text{total}}=3{,}0\times 10^{-8}+3{,}0\times 10^{-8}=6{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Resolver o sistema para Q_1 e Q_2. Da igualdade \dfrac{Q_1}{R_1}=\dfrac{Q_2}{R_2} temos
Q_2 = Q_1\frac{R_2}{R_1}.
Substituindo na conservação:
Q_1 + Q_1\frac{R_2}{R_1} = Q_{\text{total}}
Q_1\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)=Q_{\text{total}}
Q_1 = Q_{\text{total}}\frac{1}{1+\dfrac{R_2}{R_1}} = Q_{\text{total}}\frac{R_1}{R_1+R_2}.
Essa fórmula é intuitiva: a carga se divide na razão dos raios.

Passo 5

Agora plugamos os valores numéricos. Usando R_1=0{,}060\\ \mathrm{m}, R_2=0{,}120\\ \mathrm{m} e Q_{\text{total}}=6{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C},
Q_1 = 6{,}0\times 10^{-8}\cdot\frac{0{,}060}{0{,}060+0{,}120} =6{,}0\times 10^{-8}\cdot\frac{0{,}060}{0{,}180} =6{,}0\times 10^{-8}\cdot\frac{1}{3} =2{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}.
Em seguida
Q_2 = Q_{\text{total}}-Q_1 = 6{,}0\times 10^{-8}-2{,}0\times 10^{-8}=4{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}.

Passo 6

Interpretando os resultados e respondendo a letra (a) sobre sentido e intensidade da carga transferida:
  • Inicialmente ambas tinham 3{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}. Ao final a esfera menor ficou com 2{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C} (perdeu carga) e a esfera maior ficou com 4{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C} (ganhou carga).
  • Assim a carga transferida do menor para o maior foi
\Delta Q = 3{,}0\times 10^{-8}-2{,}0\times 10^{-8}=1{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}.
Logo o sentido do movimento é da esfera de 6{,}0\\ \mathrm{cm} para a de 12{,}0\\ \mathrm{cm} e a intensidade da carga transferida é \,1{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}.

Passo 7

Calcular o potencial final comum. Usamos V=k\,\dfrac{Q_1}{R_1}. Tomando k=8{,}988\times 10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},
V = 8{,}988\times 10^{9}\cdot\frac{2{,}0\times 10^{-8}}{0{,}060}.
Fazendo as contas em passos:
\frac{2{,}0\times 10^{-8}}{0{,}060} = \frac{2{,}0}{0{,}060}\times 10^{-8} = 33{,}333\ldots\times 10^{-8} = 3{,}3333\ldots\times 10^{-7}.
Multiplicando por k:
V \approx 8{,}988\times 10^{9}\times 3{,}3333\times 10^{-7}\approx 2{,}996\times 10^{3}\\ \mathrm{V}\approx 3{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{V}.
(Verificação: usando Q_2 e R_2 dá o mesmo número, pois Q_2/R_2 = Q_1/R_1.)

Resposta

a) Sentido: da esfera de 6{,}0\\ \mathrm{cm} para a de 12{,}0\\ \mathrm{cm}. Intensidade da carga transferida: 1{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}.
b) Carga final na esfera de 6{,}0\\ \mathrm{cm}: 2{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}.
Carga final na esfera de 12{,}0\\ \mathrm{cm}: 4{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}.
Potencial final em cada esfera: 3{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{V}.

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