Duas esferas condutoras 1 e 2 , no vácuo, inicialmente separadas e com cargas
e
e potenciais
e
, respectivamente, são ligadas por fio condutor. Uma vez estabelecido o equilíbrio elétrico, determine as novas cargas (a) da esfera 1; e (b) da esfera 2; e (c) o número de elétrons transferidos de uma esfera para outra.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados iniciais (peguei do enunciado):
-
(isto é, ). -
(isto é, ). -
. -
.
-
-
O enunciado pede:
(a) a nova carga da esfera 1 após ligação;
(b) a nova carga da esfera 2 após ligação;
(c) o número de elétrons transferidos de uma esfera para outra (e qual direção do fluxo).
Passo 2
Conceitos e fórmulas principais (aula rápida e direta).
- Potencial de uma esfera condutora isolada: a potencial elétrico (em relação ao infinito) de uma esfera condutora de raio
que possui carga é
onde
é a constante eletrostática. Aqui
é o potencial (volts),
a carga (coulombs) e
o raio (metros).
- Ao ligar duas esferas por fio condutor, em equilíbrio eletrostático os potenciais se igualam:
- Conservação de carga: a carga total não se perde na ligação, portanto
- Juntando as duas ideias (igualdade de potenciais e fórmula do potencial), para as esferas vale
Isso, junto com
, permite determinar
e
.
Observação importante: os raios
e
não foram dados, mas podem ser obtidos a partir das condições iniciais usando
. Note que
cancela quando usamos proporções, então não é necessário conhecer
numericamente.
Passo 3
Expressar os raios em função de
e
e calcular a razão
.
- Da relação
segue
- Calcular numericamente
e (uso notação com vírgula decimal conforme pedido):
- Portanto a razão dos raios (proporcional) é
Mas o que nos interessa na prática é a fração
, que vai determinar
(ver próximo passo).
Passo 4
Determinar
e
usando igualdade de potencial e conservação de carga.
- Da igualdade de potencial:
. Então
com
.
- Substituindo
e por suas proporções e , obtemos
- Calcular numericamente:
- Logo as cargas finais são
Passo 5
Interpretação física da transferência e cálculo do número de elétrons transferidos.
- Variação da carga da esfera 1:
Como
, a esfera 1 ficou mais positiva; isso significa que a esfera 1 perdeu elétrons e a esfera 2 ganhou esses elétrons. Logo os elétrons foram transferidos da esfera 1 para a esfera 2.
- Número de elétrons transferidos (carga elemental
):
Passo 6
Checagem rápida (opcional, para garantir consistência): potencial final.
- Potencial final
deve ser igual nas duas esferas; usando (pois ):
e pela esfera 2:
. Está consistente:
.
Resposta
(a)
(b)
(c) elétrons transferidos da esfera 1 para a esfera 2.
(b)
(c)