Duas esferas condutoras 1 e 2 , no vácuo, inicialmente separadas e com cargas \mathrm{Q}_{1}=2,0 \mu \mathrm{C} e \mathrm{Q}_{2}=6,0 \mu \mathrm{C} e potenciais \mathrm{V}_{1}=3,010^{3} \mathrm{~V} e \mathrm{V}_{2}= 6,0.10^{3} \mathrm{~V}, respectivamente, são ligadas por fio condutor. Uma vez estabelecido o equilíbrio elétrico, determine as novas cargas (a) da esfera 1; e (b) da esfera 2; e (c) o número de elétrons transferidos de uma esfera para outra.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados iniciais (peguei do enunciado):
    • Q_1=2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} (isto é, 2{,}0\\ \mu\mathrm{C}).
    • Q_2=6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} (isto é, 6{,}0\\ \mu\mathrm{C}).
    • V_1=3{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V}.
    • V_2=6{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V}.
  • O enunciado pede:
    (a) a nova carga da esfera 1 após ligação;
    (b) a nova carga da esfera 2 após ligação;
    (c) o número de elétrons transferidos de uma esfera para outra (e qual direção do fluxo).

Passo 2

Conceitos e fórmulas principais (aula rápida e direta).
  • Potencial de uma esfera condutora isolada: a potencial elétrico (em relação ao infinito) de uma esfera condutora de raio R que possui carga Q é
V = k\,\frac{Q}{R},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática. Aqui V é o potencial (volts), Q a carga (coulombs) e R o raio (metros).
  • Ao ligar duas esferas por fio condutor, em equilíbrio eletrostático os potenciais se igualam:
V_1' = V_2'.
  • Conservação de carga: a carga total não se perde na ligação, portanto
Q_1' + Q_2' = Q_1 + Q_2.
  • Juntando as duas ideias (igualdade de potenciais e fórmula do potencial), para as esferas vale
\frac{Q_1'}{R_1}=\frac{Q_2'}{R_2}.
Isso, junto com Q_1'+Q_2'=Q_{\rm total}, permite determinar Q_1' e Q_2'.
Observação importante: os raios R_1 e R_2 não foram dados, mas podem ser obtidos a partir das condições iniciais usando R = k\,Q/V. Note que k cancela quando usamos proporções, então não é necessário conhecer k numericamente.

Passo 3

Expressar os raios em função de Q e V e calcular a razão R_1:R_2.
  • Da relação V=kQ/R segue
R=\;k\,\frac{Q}{V}\quad\Rightarrow\quad R_1\propto\frac{Q_1}{V_1},\quad R_2\propto\frac{Q_2}{V_2}.
  • Calcular numericamente \dfrac{Q_1}{V_1} e \dfrac{Q_2}{V_2} (uso notação com vírgula decimal conforme pedido):
\frac{Q_1}{V_1}=\frac{2{,}0\times10^{-6}}{3{,}0\times10^{3}}=\frac{2{,}0}{3{,}0}\times10^{-9}=0{,}6666667\times10^{-9}=6{,}6666667\times10^{-10}\\ \mathrm{C/V},
\frac{Q_2}{V_2}=\frac{6{,}0\times10^{-6}}{6{,}0\times10^{3}}=\frac{6{,}0}{6{,}0}\times10^{-9}=1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C/V}.
  • Portanto a razão dos raios (proporcional) é
\frac{R_1}{R_2}=\frac{Q_1/V_1}{Q_2/V_2}=\frac{6{,}6666667\times10^{-10}}{1{,}0\times10^{-9}}=0{,}6666667.
Mas o que nos interessa na prática é a fração \dfrac{R_1}{R_1+R_2}, que vai determinar Q_1' (ver próximo passo).

Passo 4

Determinar Q_1' e Q_2' usando igualdade de potencial e conservação de carga.
  • Da igualdade de potencial: \dfrac{Q_1'}{R_1}=\dfrac{Q_2'}{R_2}. Então
Q_1' = Q_{\rm total}\,\frac{R_1}{R_1+R_2},\qquad Q_2' = Q_{\rm total}\,\frac{R_2}{R_1+R_2},
com Q_{\rm total}=Q_1+Q_2=8{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Substituindo R_1 e R_2 por suas proporções \dfrac{Q_1}{V_1} e \dfrac{Q_2}{V_2}, obtemos
\frac{R_1}{R_1+R_2}=\frac{Q_1/V_1}{Q_1/V_1+Q_2/V_2}.
  • Calcular numericamente:
\frac{Q_1}{V_1}=6{,}6666667\times10^{-10},\qquad \frac{Q_2}{V_2}=1{,}0\times10^{-9},
\frac{R_1}{R_1+R_2}=\frac{6{,}6666667\times10^{-10}}{6{,}6666667\times10^{-10}+1{,}0\times10^{-9}} =\frac{6{,}6666667}{16{,}6666667}=0{,}4.
  • Logo as cargas finais são
Q_1' = Q_{\rm total}\times0{,}4 = 8{,}0\times10^{-6}\times0{,}4 = 3{,}2\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=3{,}2\\ \mu\mathrm{C},
Q_2' = Q_{\rm total}-Q_1' = 8{,}0\times10^{-6}-3{,}2\times10^{-6} = 4{,}8\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=4{,}8\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação física da transferência e cálculo do número de elétrons transferidos.
  • Variação da carga da esfera 1:
\Delta Q_1 = Q_1' - Q_1 = 3{,}2\times10^{-6} - 2{,}0\times10^{-6} = 1{,}2\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Como \Delta Q_1>0, a esfera 1 ficou mais positiva; isso significa que a esfera 1 perdeu elétrons e a esfera 2 ganhou esses elétrons. Logo os elétrons foram transferidos da esfera 1 para a esfera 2.
  • Número de elétrons transferidos (carga elemental e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}):
n=\frac{|\Delta Q_1|}{e}=\frac{1{,}2\times10^{-6}}{1{,}602176634\times10^{-19}} \approx 7{,}49\times10^{12}\\ \text{elétrons}.é

Passo 6

Checagem rápida (opcional, para garantir consistência): potencial final.
  • Potencial final V' deve ser igual nas duas esferas; usando V'=(V_1/Q_1)\,Q_1' (pois k/R_1=V_1/Q_1):
V' = V_1\frac{Q_1'}{Q_1}=3{,}0\times10^{3}\times\frac{3{,}2}{2{,}0}=3{,}0\times10^{3}\times1{,}6=4{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{V},
e pela esfera 2: V_2\frac{Q_2'}{Q_2}=6{,}0\times10^{3}\times\frac{4{,}8}{6{,}0}=4{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{V}. Está consistente: V'=4{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{V}.

Resposta

(a) Q_1' = 3{,}2\\ \mu\mathrm{C}
(b) Q_2' = 4{,}8\\ \mu\mathrm{C}
(c) 7{,}49\times10^{12} elétrons transferidos da esfera 1 para a esfera 2.

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