4 { }^{\text {a }} Questão: (a) Calcule a densidade de energia do campo elétrico a uma distância r de um elétron (presumido como uma partícula) em repouso. (b) Admita, agora, que o elétron não é um ponto, mas uma esfera de raio R , sobre cuja superfície a carga do elétron é distribuída uniformemente. Determine a energia associada ao campo elétrico externo do elétron no vácuo, como uma função de R. Encontre uma expressão para R (assumindo que a energia de repouso de um elétron seja \mathrm{m}_{\mathrm{e}} \mathrm{c}^{2}, onde \mathrm{m}_{\mathrm{e}}= massa do elétron \mathrm{e}= velocidade da luz no vácuo).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Calcular a densidade de energia do campo elétrico a uma distância r de um elétron (preso em repouso).
  • (b) Assumir que o elétron é uma esfera de raio R com a carga distribuída uniformemente sobre a superfície; determinar a energia associada ao campo elétrico externo (no vácuo) em função de R e, em seguida, encontrar uma expressão para R supondo que essa energia é igual à energia de repouso do elétron \,m_e c^2.
Informações relevantes que vou usar (constantes e notações que aparecem no enunciado):
  • carga do elétron (módulo): e (vou usar q como símbolo geral e depois pôr q=e),
  • massa do elétron: m_e,
  • velocidade da luz no vácuo: c,
  • permissividade elétrica do vácuo: \epsilon_0.
Não começarei a resolver aqui; apenas listei o que o problema pede e os dados que vou usar.

Passo 2

Recordando a expressão do campo elétrico de uma carga puntiforme (Lei de Coulomb): para uma carga q localizada na origem, o campo elétrico radial a uma distância r é
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\hat{r}.
Explicação rápida: esta fórmula dá a intensidade do campo elétrico gerado por uma carga pontual; \hat r é o vetor unitário radial. O sinal (direção) depende do sinal de q, mas a energia depende de E^2, então usa-se o módulo.

Passo 3

Fórmula da densidade de energia do campo elétrico no vácuo: a energia armazenada por unidade de volume causada pelo campo elétrico é
u=\frac{1}{2}\,\epsilon_0\,E^2.
Breve justificativa didática: essa expressão aparece da energia eletrostática (por exemplo, a energia armazenada num capacitor pode ser obtida integrando \tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2 sobre o volume). A constante \epsilon_0 assegura as unidades corretas (J/m³).

Passo 4

Agora substituímos E(r) da carga puntual em u. Primeiro escrevo E^2:
E^2(r)=\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\right)^2=\frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0^2\,r^4}.
Então a densidade de energia a uma distância r é
u(r)=\frac{1}{2}\epsilon_0\,E^2(r)=\frac{1}{2}\epsilon_0\cdot\frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0^2\,r^4}.
Agora simplifico um fator \epsilon_0 no numerador com um dos \epsilon_0 no denominador:
u(r)=\frac{q^2}{32\pi^2\,\epsilon_0\,r^4}.
Isto responde a parte (a): a densidade de energia do campo elétrico a distância r de uma carga puntiforme q é \displaystyle u(r)=\frac{q^2}{32\pi^2\epsilon_0 r^4}. (No caso do elétron toma-se q=e em módulo.)

Passo 5

Parte (b) — energia do campo externo de uma casca esférica carregada: se a carga q está distribuída uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio R (casca esférica), o campo fora da casca ( r\ge R) é idêntico ao de uma carga pontual q colocada na origem, ou seja, a mesma expressão de E(r) que usei. Logo a energia armazenada no campo elétrico externo (região r\ge R) é a integral da densidade de energia sobre o volume externo:
U=\int_{r=R}^{\infty} u(r)\,dV.
Como o problema é esférico, dV=4\pi r^2 dr. Substituo u(r):
U=\int_R^{\infty} \frac{q^2}{32\pi^2\epsilon_0 r^4}\;4\pi r^2\,dr.

Passo 6

Faço a simplificação algébrica dentro da integral:
\frac{q^2}{32\pi^2\epsilon_0 r^4}\cdot 4\pi r^2 = \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{r^2}.
Portanto
U=\frac{q^2}{8\pi\epsilon_0}\int_R^{\infty}\frac{1}{r^2}\,dr.
Agora calculo a integral conhecida: \displaystyle\int_R^{\infty} r^{-2} dr = \left[-\frac{1}{r}\right]_R^{\infty} = \frac{1}{R}. Assim
U=\frac{q^2}{8\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{R}=\frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 R}.
Comentário físico rápido: se R\to0 (carga pontual) esta energia diverge, o que ilustra o problema da energia própria infinita de uma carga pontual.

Passo 7

Agora igualo essa energia ao conteúdo de energia de repouso do elétron e resolvo para R. Tomando q=e (módulo da carga do elétron) e exigindo U=m_e c^2, temos
\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 R}=m_e c^2.
Isolando R:
R=\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 m_e c^2}.
Para conectar com a notação conhecida, a chamada “raio clássico do elétron” é
r_e=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e c^2}.
Logo a expressão encontrada é
R=\frac{r_e}{2}.
Se desejar um valor numérico, usando r_e\approx 2{,}818\times10^{-15}\\ \text{m}, obtemos
R\approx 1{,}409\times10^{-15}\\ \text{m}.

Passo 8

Resumo interpretativo (curto e amigo): (a) a densidade de energia cai muito rápido com r como r^{-4}; (b) a energia externa da casca é finita e inversamente proporcional a R; equiparar essa energia à m_e c^2 dá um raio da ordem de 10^{-15}\ m (metade do raio clássico do elétron), mostrando que tratar a carga como distribuição com esse raio daria a energia de repouso do elétron — mas atenção: isto é um modelo clássico e não leva em conta efeitos quânticos ou de campo quântico.

Resposta

(a) \displaystyle u(r)=\frac{q^2}{32\pi^2\epsilon_0\,r^4} (para o elétron, q=e).
(b) \displaystyle U(R)=\frac{q^2}{8\pi\epsilon_0\,R} e, impondo U(R)=m_e c^2, \displaystyle R=\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 m_e c^2}=\frac{r_e}{2}\approx1{,}409\times10^{-15}\\ \text{m}.

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