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Questão: (a) Calcule a densidade de energia do campo elétrico a uma distância r de um elétron (presumido como uma partícula) em repouso. (b) Admita, agora, que o elétron não é um ponto, mas uma esfera de raio R , sobre cuja superfície a carga do elétron é distribuída uniformemente. Determine a energia associada ao campo elétrico externo do elétron no vácuo, como uma função de R. Encontre uma expressão para R (assumindo que a energia de repouso de um elétron seja
, onde
massa do elétron
velocidade da luz no vácuo).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Calcular a densidade de energia do campo elétrico a uma distância
de um elétron (preso em repouso). - (b) Assumir que o elétron é uma esfera de raio
com a carga distribuída uniformemente sobre a superfície; determinar a energia associada ao campo elétrico externo (no vácuo) em função de e, em seguida, encontrar uma expressão para supondo que essa energia é igual à energia de repouso do elétron .
Informações relevantes que vou usar (constantes e notações que aparecem no enunciado):
- carga do elétron (módulo):
(vou usar como símbolo geral e depois pôr ), - massa do elétron:
, - velocidade da luz no vácuo:
, - permissividade elétrica do vácuo:
.
Não começarei a resolver aqui; apenas listei o que o problema pede e os dados que vou usar.
Passo 2
Recordando a expressão do campo elétrico de uma carga puntiforme (Lei de Coulomb): para uma carga
localizada na origem, o campo elétrico radial a uma distância
é
Explicação rápida: esta fórmula dá a intensidade do campo elétrico gerado por uma carga pontual;
é o vetor unitário radial. O sinal (direção) depende do sinal de
, mas a energia depende de
, então usa-se o módulo.
Passo 3
Fórmula da densidade de energia do campo elétrico no vácuo: a energia armazenada por unidade de volume causada pelo campo elétrico é
Breve justificativa didática: essa expressão aparece da energia eletrostática (por exemplo, a energia armazenada num capacitor pode ser obtida integrando
sobre o volume). A constante
assegura as unidades corretas (J/m³).
Passo 4
Agora substituímos
da carga puntual em
. Primeiro escrevo
:
Então a densidade de energia a uma distância
é
Agora simplifico um fator
no numerador com um dos
no denominador:
Isto responde a parte (a): a densidade de energia do campo elétrico a distância
de uma carga puntiforme
é
. (No caso do elétron toma-se
em módulo.)
Passo 5
Parte (b) — energia do campo externo de uma casca esférica carregada: se a carga
está distribuída uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio
(casca esférica), o campo fora da casca (
) é idêntico ao de uma carga pontual
colocada na origem, ou seja, a mesma expressão de
que usei. Logo a energia armazenada no campo elétrico externo (região
) é a integral da densidade de energia sobre o volume externo:
Como o problema é esférico,
. Substituo
:
Passo 6
Faço a simplificação algébrica dentro da integral:
Portanto
Agora calculo a integral conhecida:
Assim
Comentário físico rápido: se
(carga pontual) esta energia diverge, o que ilustra o problema da energia própria infinita de uma carga pontual.
Passo 7
Agora igualo essa energia ao conteúdo de energia de repouso do elétron e resolvo para
. Tomando
(módulo da carga do elétron) e exigindo
, temos
Isolando
:
Para conectar com a notação conhecida, a chamada “raio clássico do elétron” é
Logo a expressão encontrada é
Se desejar um valor numérico, usando
, obtemos
Passo 8
Resumo interpretativo (curto e amigo): (a) a densidade de energia cai muito rápido com
como
; (b) a energia externa da casca é finita e inversamente proporcional a
; equiparar essa energia à
dá um raio da ordem de 10^{-15}\ m (metade do raio clássico do elétron), mostrando que tratar a carga como distribuição com esse raio daria a energia de repouso do elétron — mas atenção: isto é um modelo clássico e não leva em conta efeitos quânticos ou de campo quântico.
Resposta
(a)
(para o elétron,
).
(b) e, impondo
,
.
(b)