Duas cascas esféricas condutoras concêntricas encontram-se separadas por vácuo. A superfície esférica interna possui raio de 10,0 \mathrm{~cm} e está a 1,5 \mathrm{~cm} de distância da superfície esférica externa. Os módulos das cargas em cada esfera são de 3,30.10^{-9} \mathrm{C}; porém a esfera interna apresenta carga positiva e a externa carga negativa.
Qual é o módulo do campo elétrico a uma distância radial de seu centro r=5,0 \mathrm{~cm};
Adote: permissividade eletrostática do vácuo
\varepsilon_{0}=8,85.10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Raio da superfície da casca esférica interna: \,10,0\\ \mathrm{cm}.
  • Distância entre a superfície da casca interna e a superfície interna da casca externa: \,1,5\\ \mathrm{cm}. (Logo a superfície interna da casca externa está em 10,0+1,5=11,5\\ \mathrm{cm}.)
  • Módulo das cargas em cada esfera: \,3,30\cdot10^{-9}\\ \mathrm{C}. A casca interna tem carga positiva +Q e a casca externa tem carga negativa -Q, com Q=3,30\cdot10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Permissividade do vácuo: \,\varepsilon_{0}=8,85\cdot10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Pede-se o módulo do campo elétrico a uma distância radial do centro \,r=5,0\\ \mathrm{cm}.
Observação importante do enunciado: as cascas são concêntricas e condutoras.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicados passo a passo, sem pular etapas):
  1. Propriedade de um condutor em equilíbrio eletrostático:
  • Em um condutor em equilíbrio, o campo elétrico dentro do material condutor é nulo. Isso faz com que cargas livres se distribuam nas superfícies externas do condutor. Para uma casca esférica condutora carregada, toda a carga líquida fica na superfície(esfera) (no caso de casca fina, na sua única superfície).
  1. Lei de Gauss (forma integral) e uso para simetria esférica:
  • A Lei de Gauss diz:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida no interior da superfície fechada S, e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • Para um problema com simetria esférica, escolhe-se uma superfície gaussiana esférica de raio r. Nesse caso o campo tem módulo constante sobre a superfície e é radial, logo:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Isolando E(r):
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
  • Observação crucial: se a superfície gaussiana não engloba nenhuma carga (isto é, Q_{\text{int}}=0), então E(r)=0.

Passo 3

Aplicação da física ao nosso arranjo de duas cascas concêntricas:
  • A casca interna tem carga total +Q. Para uma casca esférica condutora, essa carga reside na superfície da casca interna (na esfera de raio \,10,0\\ \mathrm{cm}).
  • A casca externa tem carga total -Q. Por indução, a face interna da casca externa (a superfície à distância 11,5\\ \mathrm{cm} do centro) terá carga -Q para cancelar o campo dentro do metal da casca externa, e a face externa da casca externa ficará com carga líquida 0 (porque -Q total foi toda na face interna).
  • Assim, região entre as superfícies ( 10,0\\ \mathrm{cm}<r<11,5\\ \mathrm{cm}) contém campo devido à carga +Q da casca interna; região externa a toda a casca externa tem campo nulo (cargas total encerrada +Q+(-Q)=0).

Passo 4

Escolhendo a superfície gaussiana para o ponto pedido:
  • O ponto onde queremos o campo é \,r=5,0\\ \mathrm{cm}. Note que \,5,0\\ \mathrm{cm}<10,0\\ \mathrm{cm}, portanto essa superfície gaussiana de raio \,r=5,0\\ \mathrm{cm} fica totalmente dentro da cavidade interna da casca interna e não envolve nenhuma das cargas que estão sobre a superfície da casca interna.
  • Logo, a carga total contida por essa superfície gaussiana é
Q_{\text{int}}=0.

Passo 5

Cálculo do campo elétrico em \,r=5,0\\ \mathrm{cm}:
  • Usando a forma esférica da Lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Substituindo Q_{\text{int}}=0:
E(5,0\\ \mathrm{cm})\cdot 4\pi (0,05\\ \mathrm{m})^{2}=\frac{0}{\varepsilon_{0}}=0.
  • Portanto,
E(5,0\\ \mathrm{cm})=0.

Passo 6

Interpretação final e comentário prático:
  • Resultado físico: dentro da região interna à casca esférica carregada (ou seja, para qualquer r menor que o raio da casca interna), o campo elétrico é nulo — isso é uma consequência direta da simetria esférica e da Lei de Gauss.
  • Não foi necessário usar o valor numérico de Q nem de \varepsilon_{0} porque o campo se anula por não haver carga envolvida pela superfície gaussiana.

Resposta

0\\ \mathrm{N/C}

Exercícios relacionados