Duas cascas esféricas condutoras concêntricas encontram-se separadas por vácuo. A superfície esférica interna possui raio de
e está a
de distância da superfície esférica externa. Os módulos das cargas em cada esfera são de
; porém a esfera interna apresenta carga positiva e a externa carga negativa.
Qual é o módulo do campo elétrico a uma distância radial de seu centro
;
Adote: permissividade eletrostática do vácuo
Qual é o módulo do campo elétrico a uma distância radial de seu centro
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
- Raio da superfície da casca esférica interna:
. - Distância entre a superfície da casca interna e a superfície interna da casca externa:
. (Logo a superfície interna da casca externa está em .) - Módulo das cargas em cada esfera:
. A casca interna tem carga positiva e a casca externa tem carga negativa , com . - Permissividade do vácuo:
. - Pede-se o módulo do campo elétrico a uma distância radial do centro
.
Observação importante do enunciado: as cascas são concêntricas e condutoras.
Passo 2
Conceitos essenciais (explicados passo a passo, sem pular etapas):
- Propriedade de um condutor em equilíbrio eletrostático:
- Em um condutor em equilíbrio, o campo elétrico dentro do material condutor é nulo. Isso faz com que cargas livres se distribuam nas superfícies externas do condutor. Para uma casca esférica condutora carregada, toda a carga líquida fica na superfície(esfera) (no caso de casca fina, na sua única superfície).
- Lei de Gauss (forma integral) e uso para simetria esférica:
- A Lei de Gauss diz:
onde
é a carga total contida no interior da superfície fechada
, e
é a permissividade do vácuo.
- Para um problema com simetria esférica, escolhe-se uma superfície gaussiana esférica de raio
. Nesse caso o campo tem módulo constante sobre a superfície e é radial, logo:
- Isolando
:
- Observação crucial: se a superfície gaussiana não engloba nenhuma carga (isto é,
), então .
Passo 3
Aplicação da física ao nosso arranjo de duas cascas concêntricas:
- A casca interna tem carga total
. Para uma casca esférica condutora, essa carga reside na superfície da casca interna (na esfera de raio ). - A casca externa tem carga total
. Por indução, a face interna da casca externa (a superfície à distância do centro) terá carga para cancelar o campo dentro do metal da casca externa, e a face externa da casca externa ficará com carga líquida (porque total foi toda na face interna). - Assim, região entre as superfícies (
) contém campo devido à carga da casca interna; região externa a toda a casca externa tem campo nulo (cargas total encerrada ).
Passo 4
Escolhendo a superfície gaussiana para o ponto pedido:
- O ponto onde queremos o campo é
. Note que , portanto essa superfície gaussiana de raio fica totalmente dentro da cavidade interna da casca interna e não envolve nenhuma das cargas que estão sobre a superfície da casca interna. - Logo, a carga total contida por essa superfície gaussiana é
Passo 5
Cálculo do campo elétrico em
:
- Usando a forma esférica da Lei de Gauss:
- Substituindo
:
- Portanto,
Passo 6
Interpretação final e comentário prático:
- Resultado físico: dentro da região interna à casca esférica carregada (ou seja, para qualquer
menor que o raio da casca interna), o campo elétrico é nulo — isso é uma consequência direta da simetria esférica e da Lei de Gauss. - Não foi necessário usar o valor numérico de
nem de porque o campo se anula por não haver carga envolvida pela superfície gaussiana.