Duas esferas idênticas de diâmetro D e coeficiente de arrasto C0 estão presas a uma haste horizontal de comprimento 21, que gira ao redor de um eixo vertical que passa pelo ponto O. O dispositivo deve ser considerado desprezando corrente de fluido de massa específica rho e velocidade uniforme U. Considerando a força aplicada no eixo, para um dado arrasto na haste e atritos no eixo, qual o torque M=M(theta, rho, U, omega, L, C), com constante omega? Considere que omega L > U.

Passo 1

Resumo rápido do problema e do que vamos usar
– Enunciado em miúdos: temos uma haste horizontal de comprimento L que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante ω. Nas duas pontas da haste há duas esferas idênticas de diâmetro D e coeficiente de arrasto C₀. O fluido ao redor (densidade ρ) está se movimentando com velocidade uniforme U (em módulo e direção fixos). A haste também sofre um arrasto “contínuo” caracterizado por uma constante C (que já incorpora ½, área lateral etc.). Queremos achar o torque M(θ, ρ, U, ω, L, C) que devemos aplicar no eixo para manter tudo girando no regime permanente.
– Conteúdo e ferramentas que vamos usar:
  1. Lei do arrasto: F_d = ½ ρ C_x A V_rel²
  2. Cálculo do torque: M = r × F_tangencial
  3. Superposição de contribuições: torque das esferas + torque da haste

Passo 2

Como achar a velocidade relativa e o arrasto em cada peça
  1. Cada esfera, a uma distância L do eixo, move-se com velocidade V_esfera = ω L, tangencialmente.
  2. O fluido “sopra” com U numa direção fixa; o componente de U na direção tangencial à rotação é U_tan = U sin θ, onde θ é o ângulo entre a direção de U e a direção radial da haste.
  3. Assim, a velocidade relativa tangencial que gera arrasto em cada esfera é
    V_rel,esfera = ω L – U sin θ
    (o sinal indica que, se U_tan ajudar a rotação, o arrasto diminui; senão, aumenta.)
  4. A força de arrasto em uma esfera é
    F_d,esfera = ½ ρ C₀ A · (V_rel,esfera)²
    com A = π D²/4 sendo a área de projeção da esfera.

Passo 3

Torque total devido às duas esferas
Cada esfera está a braço L e produz torque (módulo)
M_esfera = L · F_d,esfera
Logo, somando as duas esferas:
M_esferas = 2 · [L · (½ ρ C₀ A)(ω L – U sin θ)²]
Podemos escrever
M_esferas = ρ C₀ A L · (ω L – U sin θ)²

Passo 4

Torque devido ao arrasto distribuído na haste
A haste também sofre arrasto ao longo de todo 0 ≤ r ≤ L. Se chamarmos C a constante que já inclui ½ ρ C_x e área por unidade de comprimento, o arrasto linear em um pedaço dr a uma distância r do eixo é
dF_d,haste = C·[ω² r² + U² sin² θ – 2 ω r U sin θ]·dr
Só a componente tangencial de dF_d,haste gera torque, mas como drage é radial-simétrica a projeção tangencial já está nessa forma. O torque desse pedaço é dM = r·dF_d,haste, logo:
M_haste = ∫₀ᴸ r·C·(ω² r² + U² sin² θ – 2 ω r U sin θ) dr
Calculemos as integrais:
∫₀ᴸ ω² r³ dr = ω²·L⁴/4
∫₀ᴸ U² sin² θ·r dr = U² sin² θ·L²/2
∫₀ᴸ 2 ω r² U sin θ dr = 2 ω U sin θ·L³/3
Portanto
M_haste = C·[ω² L⁴/4 + U² sin² θ·L²/2 – 2 ω U sin θ·L³/3]

Passo 5

Somando tudo e incluindo atritos no eixo
Se houver ainda um torque de atrito no eixo, M_atrito, basta somar; mas o enunciado pede M em função dos dados (incluindo já C para arrasto da haste). Então a expressão completa do torque que você precisa “entregar” no eixo para manter regime permanente é:
M(θ) = M_esferas + M_haste
Inserindo as fórmulas:
boxed M(θ) = ;ρ,C₀;A;L;(ωL - U sinθ)^2 ;+; C;l[,tfracω^2L^44;+;tfracU^2sin^2θ,L^22 ;-;tfrac2,ω,U,sinθ,L^33r]

Resposta

M(θ,ρ,U,ω,L,C) = ρ,C₀l(πD^24r)L,(ωL - Usinθ)^2 ;+; Cl[ω^2L^44 + U^2sin^2θ,L^22 - 2,ω,U,sinθ,L^33r]

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