ESCREVA a equação geral do Teorema do transporte de Reynolds indicando o que ocorre com essa equação quando o escoamento é em regime permanente. JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra gente escrever a forma geral do Teorema do Transporte de Reynolds e depois dizer o que acontece quando o escoamento é permanente (steady). Isso é conteúdo de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente de balanços em volume de controle. Para resolver, a gente vai precisar lembrar o teorema em si (com derivada temporal e fluxo através da superfície) e depois ver o que muda se nada varia no tempo.

Passo 2

O Teorema do Transporte de Reynolds fala basicamente de como uma propriedade extensa dBsysdt ;=; ddtintegralCV rho,b,dV ;+; integralCS rho,b,(vcdot n),dA de um sistema fluido (por exemplo massa, momento, energia) se relaciona com o seu equivalente num volume de controle fixo. Se é a propriedade por unidade de massa (propriedade intensiva), a densidade, o volume de controle e a superfície que o envolve, a forma geral é:
Aqui:
  • é a variação total da propriedade no sistema que se move com o fluido;
  • o primeiro termo do lado direito é a taxa de acumulação dentro do volume de controle;
  • o segundo termo é o fluxo de que entra ou sai pelas superfícies do controle ( é o campo de velocidade, o normal externo).

Passo 3

Vamos destrinchar o que cada parte faz:
  1. é a variação no tempo da quantidade de dentro do CV. Se o fluido acumula propriedade lá dentro, esse termo capta isso.
  2. mede o quanto de está entrando ( ) ou saindo ( ) pelas fronteiras do volume.

Passo 4

Agora, o que muda no regime permanente? Steady significa que nada varia com o tempo em cada ponto do espaço. Logo, a quantidade de partialpartial t(rho,b)=0 Longrightarrow ddt!integralCVrho,b,dV = 0 dentro do CV não muda, isto é:
Então o termo de acumulação some.

Passo 5

Com isso, a equação geral do Reynolds, no regime permanente, vira só:
dBsysdt ;=; 0 ;+; integralCSrho,b,(vcdot n),dA
Mas, em regime permanente, a propriedade do sistema também não varia no tempo ( boxed integralCSrho,b,(vcdot n),dA ;=; 0 ), então o balanço final é
ou seja, tudo que entra sai, não há acúmulo.

Resposta

Equação geral (volume de controle fixo):
[
\frac{dB_{sys}}{dt}

\frac{d}{dt}!\int_{CV}\rho,b,dV
+
\int_{CS}\rho,b,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA.
]
Em regime permanente ( dBsysdt = ddt!integralCVrho,b,dV + integralCSrho,b,(vcdotn),dA e integralCSrho,b,(vcdotn),dA = 0, ), isso reduz a
[
\int_{CS}\rho,b,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

0,
]
justificando que não há acúmulo dentro do volume de controle.

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