ESCREVA a equação geral do Teorema do transporte de Reynolds indicando o que ocorre com essa equação quando o escoamento é em regime permanente. JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra gente escrever a forma geral do Teorema do Transporte de Reynolds e depois dizer o que acontece quando o escoamento é permanente (steady). Isso é conteúdo de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente de balanços em volume de controle. Para resolver, a gente vai precisar lembrar o teorema em si (com derivada temporal e fluxo através da superfície) e depois ver o que muda se nada varia no tempo.
Passo 2
O Teorema do Transporte de Reynolds fala basicamente de como uma propriedade extensa
de um sistema fluido (por exemplo massa, momento, energia) se relaciona com o seu equivalente num volume de controle fixo. Se
é a propriedade por unidade de massa (propriedade intensiva),
a densidade,
o volume de controle e
a superfície que o envolve, a forma geral é:
Aqui:
-
é a variação total da propriedade no sistema que se move com o fluido; - o primeiro termo do lado direito é a taxa de acumulação dentro do volume de controle;
- o segundo termo é o fluxo de
que entra ou sai pelas superfícies do controle ( é o campo de velocidade, o normal externo).
Passo 3
Vamos destrinchar o que cada parte faz:
-
é a variação no tempo da quantidade de dentro do CV. Se o fluido acumula propriedade lá dentro, esse termo capta isso. -
mede o quanto de está entrando ( ) ou saindo ( ) pelas fronteiras do volume.
Passo 4
Agora, o que muda no regime permanente? Steady significa que nada varia com o tempo em cada ponto do espaço. Logo, a quantidade de
dentro do CV não muda, isto é:
Então o termo de acumulação some.
Passo 5
Com isso, a equação geral do Reynolds, no regime permanente, vira só:
Mas, em regime permanente, a propriedade do sistema também não varia no tempo (
), então o balanço final é
ou seja, tudo que entra sai, não há acúmulo.
Resposta
Equação geral (volume de controle fixo):
[
\frac{dB_{sys}}{dt}
\frac{d}{dt}!\int_{CV}\rho,b,dV
+
\int_{CS}\rho,b,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA.
]
Em regime permanente (
e
), isso reduz a
[
\int_{CS}\rho,b,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA
0,
]
]
justificando que não há acúmulo dentro do volume de controle.