Duas esferas idénticas possuem cargas iguais à
e
, respectivamente. As duas são colocadas em contato até que atingem o equilibrio eletrostático, e então são separadas. Determine a carga elétrica de ambas as esferas após o contato.
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (o que o problema dá e o que pede):
- Temos duas esferas idênticas, com cargas iniciais
e . - As duas são colocadas em contato até atingirem equilíbrio eletrostático e depois são separadas.
- Pergunta: determinar a carga elétrica de cada uma das esferas após o contato (ou seja, quais são as cargas finais nas duas esferas).
Passo 2
Princípio físico fundamental que usamos (explicação didática): conservação da carga.
- A carga total de um sistema isolado não muda por simples contato entre condutores: a soma das cargas antes do contato é igual à soma das cargas depois do contato.
- Em termos de fórmula, se
e são as cargas iniciais, então a carga total é
- Esse é um princípio muito intuitivo: cargas não “desaparecem” sozinhas, apenas se redistribuem entre os corpos.
Passo 3
Por que, para esferas idênticas, as cargas finais ficam iguais? (aula curta sobre equilíbrio entre condutores)
- Quando dois condutores entram em contato, as cargas se movem até que os potenciais elétricos dos condutores sejam iguais (equilíbrio eletrostático).
- O potencial de um condutor isolado relaciona-se com sua carga pela relação
onde
é o potencial,
é a carga do condutor e
é sua capacitância (uma medida de quanto carga o condutor guarda para um dado potencial).
- Se as duas esferas são idênticas, suas capacitâncias são iguais:
. Igualdade de potenciais no equilíbrio implica
- Com
segue que . Ou seja: após o contato, cada esfera terá a mesma carga final. (Explicação simples: esferas iguais “gostam” da mesma quantidade de carga para ficar no mesmo potencial.)
Passo 4
Aplicando conservação da carga: cálculo do total inicial (contas detalhadas)
- As cargas iniciais são
e . Então
- Somando os valores:
(ou seja, o sistema tem carga total positiva de
.)
Passo 5
Dividir igualmente entre as esferas idênticas: fórmula e cálculo
- Como vimos, as cargas finais serão iguais:
. E pela conservação:
- Substituindo
:
Passo 6
Interpretação do resultado e verificação (passo a passo para usar na prova)
- Cada esfera terminará com
. Isso faz sentido porque , recuperando a carga total inicial (verificação da conservação). - O sinal positivo aparece porque a carga total inicial era positiva (
), portanto após redistribuição cada esfera também ficou com carga positiva.
Passo 7
Comentário didático extra (quando as esferas não são idênticas)
- Se as esferas não fossem idênticas, as cargas finais não seriam iguais; em equilíbrio teríamos
e a distribuição seguiria as capacitâncias. Para esferas isoladas, depende do raio, então esferas de raios diferentes dividiriam a carga proporcionalmente às suas capacitâncias. (Guarde isso — é útil em questões parecidas.)