Duas esferas idênticas de raio r estão separadas uma distância d \gg r. Uma carga \tilde{Q} é colocada nas superfícies de cada uma das esferas.
(a) Qual é a energia potencial do sistema se colocamos \tilde{Q}=Q / 2 ?

Passo 1

O enunciado diz que temos duas esferas metálicas idênticas de raio r separadas por uma distância d muito maior que r. Em cada esfera colocamos uma carga \tilde{Q}=Q/2. Queremos a energia potencial eletrostática total do sistema. Para isso vamos precisar (i) da expressão da energia armazenada ao carregar uma esfera isolada e (ii) da energia de interação entre duas cargas pontuais a distância d, já que d\gg r.

Passo 2

Primeiro calculamos a energia de auto-carga (self-energy) de cada esfera. A capacitância de uma esfera isolada de raio r é
C = 4\pi \varepsilon_0\,r.
Ao colocar carga Q_1 numa capacitância C, a energia armazenada é
U_{\text{self}} = \frac{Q_1^2}{2\,C}.
Substituindo Q_1 = \tfrac{Q}{2} e C = 4\pi\varepsilon_0\,r, obtemos para cada esfera
U_{\text{self,\,cada}} = \frac{\bigl(\tfrac{Q}{2}\bigr)^2}{2\,(4\pi\varepsilon_0\,r)} = \frac{Q^2}{8\,(4\pi\varepsilon_0\,r)} = \frac{Q^2}{32\pi\varepsilon_0\,r}.

Passo 3

Como temos duas esferas, a soma das energias de auto-carga é
2\,U_{\text{self,\,cada}} = 2 \;\frac{Q^2}{32\pi\varepsilon_0\,r} = \frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0\,r}.

Passo 4

Agora a energia de interação entre as duas esferas. Para d\gg r podemos tratá-las como cargas pontuais Q/2 separadas por d. A energia de interação é
U_{\text{int}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(Q/2)\,(Q/2)}{d} = \frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0\,d}.

Passo 5

A energia potencial total do sistema é a soma das auto-energias e da interação:
U_{\text{tot}} = \frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0\,r} \;+\; \frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0\,d} = \frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r} + \frac{1}{d}\Bigr).

Resposta

U = \frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r} + \frac{1}{d}\Bigr).

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